《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 数列中的项互换次序后还是原来的数列. (×)
(2) 数列可分为递增数列和递减数列两类. (×)
(3) $\{a_n\}$与$a_n$的意义一样，都表示数列. (×)

答案： 1.
(1)×　　
(2)×　　
(3)×

2. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = (-1)^n·(n^2 - 1)$，则$a_6=$(35)
A.$35$
B.$-11$
C.$-35$
D.$11$

答案： 2.A　解析:$a_6=(-1)^6×(6^2 - 1)=35$.故选A.

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 数列的记法和集合的记法有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
(2) 数列可以用一群孤立的点表示吗？
(3) 数列的通项公式$a_n = f(n)$与函数解析式$y = f(x)$有什么异同？

答案：
3.
(1)提示:数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性;数列是离散的，而集合中的元素并不一定是离散的;数列本质上是函数，而集合不是函数
(2)提示:可以，数列是特殊的函数，函数可用图象法表示，数列$\{a_n\}$的图象由一群孤立的点$(n,a_n)(n\in\mathrm{N}^*)$组成.
(3)提示:如图，数列$\{a_n\}$可以看成以正整数集$\mathrm{N}^*$（或它的有限子集$\{1,2,·s,n\}$)为定义域的函数$a_n = f(n)$，当自变量$n$按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的函数值构成数列$\{a_n\}$.不同之处是定义域，数列中的$n$必须是从1开始且取值为连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.
　　　　　　　　

1. 下列说法正确的是(D)
A.$1,2,3,4,·s,n$是无穷数列
B.数列$3,5,7$与数列$7,5,3$是相同数列
C.同一个数在数列中不能重复出现
D.数列$\{2n + 1\}$的第6项是$13$

答案： 1.D　解析:数列1,2,3,4,...,n共n项，是有穷数列，A错误.数列中的项是有次序的，B错误.数列中的数可以重复出现，C错误.当n=6时,2×6+1=13,D正确.故选D.

2. 下列对象是数列的是(2)(4)(5)；是有穷数列的是(2)(5)；是无穷数列的是(4).
(1) $\{1,3,5,7,9\}$；(2) $4,3,2,1,0$；(3) 所有无理数；(4) $1,2,3,4,·s$；(5) $2,2,2,2,2$.

答案： 2.
(2)
(4)
(5)　
(2)
(5)　　
(4)　解析:
(1)是集合，不是数列;
(3)不能构成数列，因为没有把所有的无理数按一定顺序排列起来;
(2)
(4)
(5)是数列，其中
(4)是无穷数列，
(2)
(5)是有穷数列.

例1 写出下列数列的一个通项公式：
(1) $\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},·s$；
(2) $1,-3,5,-7,9,·s$；
(3) $9,99,999,9999,·s$；
(4) $\frac{2^2 - 1}{1},\frac{3^2 - 2}{3},\frac{4^2 - 3}{5},\frac{5^2 - 4}{7},·s$；
(5) $-\frac{1}{1×2},\frac{1}{2×3},-\frac{1}{3×4},\frac{1}{4×5},·s$；
(6) $4,0,4,0,4,0,·s$.
一题多思
思考1. 试以本例中(1)(2)为例，说明将数列的前几项进行怎样的处理更有利于写出通项公式.
思考2. 在本例(3)的基础上，你能写出数列$5,55,555,5555,·s$的一个通项公式吗？

答案： 例1　解:
(1)将各项都统一成分数:$\frac{1}{2}$,$\frac{4}{2}$,$\frac{9}{2}$,$\frac{16}{2}$,$\frac{25}{2}$,...，所以它的一个通项公式为$a_n=\frac{n^2}{2}$.
(2)数列各项的绝对值构成数列1,3,5,7,9,...，是连续的正奇数，其通项公式为$A_n = 2n - 1$.考虑$(-1)^{n + 1}$具有转换符号的作用，所以原数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^{n + 1}(2n - 1)$.
(3)各项加1后，分别变为10,100，1000，10000，...，此数列的通项公式为$A_n = 10^n$，可得原数列的一个通项公式为$a_n = 10^n - 1$.
(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数，其通项公式为$A_n = 2n - 1$；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为$B_n = (n + 1)^2$，分子的后一部分是减去一个自然数，减去的自然数的通项公式为$C_n = n$.综合得原数列的一个通项公式为$a_n=\frac{(n + 1)^2 - n}{2n - 1}$.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为$a_n=(-1)^n·\frac{1}{n(n + 1)}$.
(6)由于该数列中奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即$a_n=\begin{cases}4, &n为奇数\\0, &n为偶数\end{cases}$，该数列也可改写为$2 + 2,2 - 2,2 + 2,2 - 2,2 + 2,2 - 2,...$，因此其通项公式又可以表示为$a_n = 2 + 2×(-1)^{n + 1}$.
@@思考1.提示:将数列的前几项统一形式更有利于写出数列的通项公式.如
(1)改写为$\frac{1^2}{2}$,$\frac{2^2}{2}$,$\frac{3^2}{2}$,$\frac{4^2}{2}$,$\frac{5^2}{2}$,...，写出$a_n=\frac{n^2}{2}$；
(2)改写为$(-1)^2(2×1 - 1)$,$(-1)^3(2×2 - 1)$,$(-1)^4(2×3 - 1)$,$(-1)^5(2×4 - 1)$,$(-1)^6(2×5 - 1)$,...，写出$a_n=(-1)^{n + 1}(2n - 1)$.
@@思考2.提示:易知将数列9,99,999,9999，...的每一项先除以9，再乘5，可得数列5,55，555，5555，...，故所求数列的一个通项公式为$a_n=\frac{5}{9}(10^n - 1)$.