《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

2. 已知函数 $ y = f(x) = -x^2 + 3x $，求 $ f'(1) $.

答案： 2.解：因为$\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=[-(1+\Delta x)^{2}+3(1+\Delta x)]-(-1 + 3)=-(\Delta x)^{2}+\Delta x$，
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\Delta x + 1$.
所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(-\Delta x + 1)=1$.
故$f^{\prime}(1)=1$.

例2（1）已知函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数为 12，则 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{3\Delta x} = $（A）
A.-4
B.4
C.-36
D.36

答案： 例2
(1)A 解析：由函数$f(x)$在$x = x_{0}$处的导数为$12$，
得$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{-\Delta x}=-\frac{1}{3}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-\Delta x)}{\Delta x}=-\frac{1}{3}f^{\prime}(x_{0})=-\frac{12}{3}=-4$.
故选A.

（2）已知函数 $ f(x) $ 在定义域 $ \mathbf{R} $ 上可导，则 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{-\Delta x} $ 等于（ ）

A.$ f'(1) $
B.$ -f'(1) $
C.$ \frac{1}{3}f'(1) $
D.$ 3f'(1) $

答案： （2）A 解析：因为$\Delta x \to 0$，所以$-\Delta x \to 0$，
所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1-\Delta x)-f(1)}{-\Delta x}=f^{\prime}(1)$.故选A.

（2）已知函数 $ f(x) $ 在定义域 $ \mathbf{R} $ 上可导，则 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{-\Delta x} $ 等于（ ）

A.$ f'(1) $
B.$ -f'(1) $
C.$ \frac{1}{3}f'(1) $
D.$ 3f'(1) $

答案： （2）A 解析：因为$\Delta x \to 0$，所以$-\Delta x \to 0$，
所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1-\Delta x)-f(1)}{-\Delta x}=f^{\prime}(1)$.故选A.

（2）已知函数 $ f(x) $ 在定义域 $ \mathbf{R} $ 上可导，则 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{-\Delta x} $ 等于（A）
A.$ f'(1) $
B.$ -f'(1) $
C.$ \frac{1}{3}f'(1) $
D.$ 3f'(1) $

答案：
(2)A 解析：因为$\Delta x \to 0$，所以$-\Delta x \to 0$，
所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1-\Delta x)-f(1)}{-\Delta x}=f^{\prime}(1)$.故选A.

1. 若函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的瞬时变化率为 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $，且 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = 4 + \Delta x $，则 $ f'(2) = $（4）
A.2
B.4
C.$ 2 + \Delta x $
D.$ 4 + \Delta x $

答案： 1.B 解析：由导数的定义，知$f^{\prime}(2)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(4+\Delta x)=4$.故选B.

2. 已知函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) ＞ 0 $，且 $ a = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $，$ b = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $，$ c = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $，$ d = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} $，$ e = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $，则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，$ e $ 的大小关系为$c\gt a = d = e\gt b$.

答案： 2.$c\gt a = d = e\gt b$ 解析：$a=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f^{\prime}(x_{0})$，
$b=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=-\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{-\Delta x}=-f^{\prime}(x_{0})$，
$c=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+2\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=2\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+2\Delta x)-f(x_{0})}{2\Delta x}=2f^{\prime}(x_{0})$，
$d=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}-\Delta x)}{2\Delta x}=f^{\prime}(x_{0})$，
$e=\lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}=f^{\prime}(x_{0})$.
因为$f^{\prime}(x_{0})\gt0$，所以$c\gt a = d = e\gt b$.
故答案为$c\gt a = d = e\gt b$.