《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

(1) 若 $ m + n = p + q (m, n, p, q \in \mathbf{N}^*) $，则 $ a_m · a_n = $$a_p · a_q$；若 $ m + n = 2k (m, n, k \in \mathbf{N}^*) $，则 $ a_k^2 = a_m · a_n $.
(2) 若数列 $ \{ a_n \} $ 是等比数列，则 $ \{ |a_n| \} $，$ \{ a_n^2 \} $，$ \left\{ \dfrac{1}{a_n} \right\} $ 仍为等比数列.
(3) 若数列 $ \{ a_n \} $ 是等差数列，则 $ \{ b^{a_n} \} $ 为等比数列，其中 $ b \neq 0 $.
(4) 若数列 $ \{ a_n \} $（各项均为正数）是等比数列，则 $ \{ \log_b a_n \} $ 为等差数列，其中 $ b ＞ 0 $ 且 $ b \neq 1 $.

答案：
(1)$a_p · a_q$
(2)等比
(4)等差

一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 $ a, aq, aq^2 $ 或 $ \dfrac{a}{q}, a, aq $，此时公比为$q$；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 $ a, aq, aq^2, aq^3 $，公比为 $ q $；当四个数均为正（负）数时，可设为 $ \dfrac{a}{q^3}, \dfrac{a}{q}, aq, aq^3 $，公比为$q^2$.

答案： $q \quad q^2$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，若 $ a_m a_n = a_p a_q $，则 $ m + n = p + q $. （×）
(2) 若数列 $ \{ a_n \} $，$ \{ b_n \} $ 都是等比数列，则数列 $ \{ a_n + b_n \} $ 也一定是等比数列. （×）
(3) 若数列 $ \{ a_n \} $ 是等比数列，则数列 $ \{ \lambda a_n \} $ 也是等比数列. （×）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×

2. 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，若 $ a_2 a_8 = 9 $，则 $ a_3 a_7 = $（C）
A.3
B.$ \pm 3 $
C.9
D.$ \pm 9 $

答案： 2.C 解析:因为$2+8=3+7$，所以$a_3a_7=a_2a_8=9$.故选C.

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 等差数列的单调性只与其公差有关，等比数列的单调性是否只与其公比有关呢？
(2) 若 $ \{ a_n \} $ 为等比数列，且 $ m + n = p (m, n, p \in \mathbf{N}^*) $，$ a_m a_n = a_p $ 一定成立吗？
(3) 从公比为 $ q $ 的等比数列 $ \{ a_n \} $ 中依次取相邻两项的乘积组成新的数列 $ a_1 a_2, a_2 a_3, a_3 a_4, ·s $. 新数列是公比为 $ 2q $ 的等比数列吗？

答案： 3.
(1)提示:等比数列的单调性与其首项$a_1$和公比q都有关系:当$q＞1,a_1＞0$或0＜q＜1,a_1＜0时，\{a_n\}是递增数列;当q＞$1,a_1$＜0或0＜q＜1,a_1＞0时，\{a_n\}是递减数列;当q=1时，\{a_n\}是常数列;当q＜0时，\{a_n\}是摆动数列.
(2)提示:不一定.例如等比数列1,2,4,8,·s中，$a_1 · a_3 \neq a_4. (3)$提示:不是.由于$\frac{a_na_{n+1}}{a_{n-1}a_n}=\frac{a_n}{a_{n-1}} · \frac{a_{n+1}}{a_n}=q · q=q^2，$$n \geqslant 2$且$n \in N^*，$所以$\{a_na_{n+1}\}$是以$q^2$为公比的等比数列.