《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在公比大于 0 的等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，已知 $ a_3 a_5 = a_4 $，且 $ a_2, 3a_4, a_3 $ 成等差数列.
(1) 求数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式.
(2) 已知 $ S_n = a_1 a_2 · ·s · a_n $，当 $ n $ 为何值时，$ S_n $ 取得最大值？并求 $ S_n $ 的最大值.

答案： 1.解:
(1)设数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$，由$a_3a_5=a_4=a_4^2$，得$a_4=1$.因为$a_2,3a_4,a_3$成等差数列，所以$a_2+a_3=6a_4$，则$6q^2-q-1=0$，解得$q=\frac{1}{2}$(负值舍去)，所以$a_1=8$.所以$a_n=8 × (\frac{1}{2})^{n-1}=2^{4-n}$.
(2)$S_n=a_1 · a_2 · ·s · a_n=2^{3+2+1+·s+(4-n)}=2^{\frac{(7-n)n}{2}}$.因为$\frac{(7-n)n}{2}=-\frac{1}{2}(n-\frac{7}{2})^2+\frac{49}{8}$，所以当$n=3$或$n=4$时，$S_n$取得最大值，此时最大值为$S_3=S_4=2^6=64$.

2. 数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和记为 $ S_n $，$ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = 2S_n + 1 (n \geq 1) $.
(1) 求数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式；
(2) 等差数列 $ \{ b_n \} $ 的各项均为正数，其前 $ n $ 项和为 $ T_n $，且 $ T_3 = 15 $，又 $ a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3 $ 成等比数列，求 $ T_n $.

答案： 2.解:
(1)由$a_{n+1}=2S_n+1$，可得$a_n=2S_{n-1}+1(n \geqslant 2)$.两式相减，得$a_{n+1}-a_n=2a_n$，即$a_{n+1}=3a_n(n \geqslant 2)$.又因为$a_2=2S_1+1=3$，所以$a_2=3a_1$.故$\{a_n\}$是以1为首项，3为公比的等比数列，所以$a_n=3^{n-1}$.
(2)设$\{b_n\}$的公差为$d$.由$T_3=15$，得$b_1+b_2+b_3=15$，可得$b_2=5$，故$b_1=5-d,b_3=5+d$.又$a_1=1,a_2=3,a_3=9$，由题意可得$(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)^2$，解得$d=2$或$d=-10$.因为等差数列$\{b_n\}$的各项均为正数，所以$d＞0$.所以$d=2$.所以$b_1=3$.所以$T_n=3n+\frac{n(n-1)}{2} × 2=n^2+2n$.