《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

思考 1. 求曲线 $y = x\ln x$ 在 $x = e$ 处的切线的方程.

答案： 思考 1.解：因为$y = x\ln x$，所以$y' = 1·\ln x + x·\frac{1}{x}=\ln x + 1$.当$x = e$时，$y = e$，故切点坐标为$(e,e)$.因为所求切线的斜率$k = y'\big|_{x = e}=\ln e + 1 = 2$，所以切线方程为$y - e = 2(x - e)$，即$2x - y - e = 0$.

思考 2. 求曲线 $y = x\ln x$ 上的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的最短距离.

答案： 思考 2.解：设曲线$y = x\ln x$在点$(x_0,y_0)$处的切线与直线$x - y - 2 = 0$的距离即为最短距离.因为$y'=\ln x + 1$，所以$y'\big|_{x = x_0}=\ln x_0 + 1 = 1$，解得$x_0 = 1$，所以$y_0 = 0$，即切点坐标为$(1,0)$.所以切点$(1,0)$到直线$x - y - 2 = 0$的距离$d = \frac{\vert1 - 0 - 2\vert}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即曲线$y = x\ln x$上的点到直线$x - y - 2 = 0$的最短距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. 若曲线 $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ 在点 $(3, 2)$ 处的切线与直线 $ax + y + 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 等于 （D）
A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-2$

答案： 1.D 解析：因为$y=\frac{x + 1}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$，所以$y'=-\frac{2}{(x - 1)^2}$，所以$y=\frac{x + 1}{x - 1}$在$x = 3$处的导数为$-\frac{1}{2}$.

2. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + 3$（$a \neq 0$），其导函数 $f'(x) = 2x - 8$.
(1) 求 $a$，$b$ 的值；
(2) 设函数 $g(x) = e^x\sin x + f(x)$，求曲线 $y = g(x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的方程.

答案： 2.解：
(1)因为$f(x)=ax^2 + bx + 3(a\neq0)$，所以$f'(x)=2ax + b$.又知$f'(x)=2x - 8$，所以$a = 1$，$b = -8$.
(2)由
(1)可知$g(x)=e^x\sin x + x^2 - 8x + 3$，所以$g'(x)=e^x\sin x + e^x\cos x + 2x - 8$.因为$g'(0)=e^0\sin0 + e^0\cos0 + 2×0 - 8=-7$，且$g(0)=3$，所以曲线$g(x)$在$x = 0$处的切线的方程为$y - 3=-7(x - 0)$，即$7x + y - 3 = 0$.