《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 函数 $ f(x) = 8x - 6 $ 在区间 $ [m,n] $ 上的平均变化率为8.

答案： 1.8 解析：$\frac{f(n)-f(m)}{n - m}=\frac{(8n - 6)-(8m - 6)}{n - m}=8$.

2. 如图是函数 $ y = f(x) $ 的图象，则函数 $ f(x) $ 在区间 $ [-1,3] $ 上的平均变化率为$\frac{3}{4}$.

答案： 2.$\frac{3}{4}$ 解析：由题中函数$f(x)$的图象，知函数$f(x)$在区间$[-1,3]$上的平均变化率为$\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{4 - 1}{3-(-1)}=\frac{3}{4}$.

3. 已知函数 $ y = \sin x $ 在区间 $ \left[0,\frac{\pi}{6}\right] $ 和区间 $ \left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right] $ 上的平均变化率分别为 $ k_1 $，$ k_2 $，那么 $ k_1 $，$ k_2 $ 的大小关系为$k_{1}\gt k_{2}$.

答案： 3.$k_{1}\gt k_{2}$ 解析：在区间$\left[0,\frac{\pi}{6}\right]$上，平均变化率$k_{1}=\frac{\sin\frac{\pi}{6}-\sin0}{\frac{\pi}{6}-0}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{\pi}{6}}=\frac{3}{\pi}$；在区间$\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$上，平均变化率$k_{2}=\frac{\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{6}}=\frac{3(2-\sqrt{3})}{\pi}$.所以$k_{1}\gt k_{2}$.

例1 根据导数定义求函数 $ y = x^2 + \frac{1}{x} + 5 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数.

答案： 例1 解：当$x = 2$时，
$\Delta y=(2+\Delta x)^{2}+\frac{1}{2+\Delta x}+5-\left(2^{2}+\frac{1}{2}+5\right)=4\Delta x+(\Delta x)^{2}+\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}$，
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4+\Delta x-\frac{1}{4 + 2\Delta x}$，
所以$y^{\prime}\big|_{x = 2}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(4+\Delta x-\frac{1}{4 + 2\Delta x}\right)=4+0-\frac{1}{4+2×0}=\frac{15}{4}$.

思考 若本例中的条件不变，试问：函数在何处的瞬时变化率为 1？

答案： 思考 解：设函数在$x = x_{0}$处的瞬时变化率为$1$.
$\Delta y=(x_{0}+\Delta x)^{2}+\frac{1}{x_{0}+\Delta x}+5-\left(x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}}+5\right)=2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}+\frac{-\Delta x}{x_{0}·(x_{0}+\Delta x)}$，
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x_{0}+\Delta x-\frac{1}{x_{0}(x_{0}+\Delta x)}$，
所以$f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x_{0}-\frac{1}{x_{0}^{2}}$.
因为$f^{\prime}(x_{0}) = 1$，
所以$2x_{0}-\frac{1}{x_{0}^{2}}=1$，
所以$2x_{0}^{3}-x_{0}^{2}-1 = 0$，
所以$x_{0}^{2}(x_{0}-1)+(x_{0}-1)(x_{0}^{2}+x_{0}+1)=0$，解得$x_{0}=1$.
所以$f(x)$在$x = 1$处的瞬时变化率为$1$.

1. 求函数 $ y = f(x) = x - \frac{4}{x} $ 在 $ x = 2 $ 处的导数.

答案： 1.解：因为$\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=(2+\Delta x)-\frac{4}{2+\Delta x}-\left(2-\frac{4}{2}\right)=\Delta x+\frac{2\Delta x}{2+\Delta x}$，
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+\frac{2\Delta x}{2+\Delta x}}{\Delta x}=1+\frac{2}{2+\Delta x}$，
所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(1+\frac{2}{2+\Delta x}\right)=2$，
从而$f^{\prime}(2)=2$.