《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例1 项数为奇数的等差数列$\{ a_{n}\}$奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.

答案： 例1 解：设等差数列$\{ a_{n}\}$共有$(2m + 1)$项，则奇数项有$(m + 1)$项，偶数项有$m$项，中间项是第$(m + 1)$项，即$a_{m + 1}$，所以$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2m + 1})(m + 1)}{\frac{1}{2}(a_{2}+a_{2m})m}=\frac{(m + 1)a_{m + 1}}{ma_{m + 1}}=\frac{m + 1}{m}=\frac{44}{33}=\frac{4}{3}$，解得$m = 3$。
因为$S_{奇}=(m + 1)a_{m + 1}=44$，所以$a_{m + 1}=11$。
所以这个数列的中间项为$11$，共有$2m + 1 = 7$(项)。

思考1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为d，给出下列两个等式：
$a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s +a_{2n+1}=S_{奇}$，
$a_{2}+a_{4}+·s +a_{2n}=S_{偶}$，
两式相减可得什么结果？

答案： 思考1.提示：两式相减得$S_{奇}-S_{偶}=a_{1}+d+·s +d$（$n$个）$=a_{1}+nd=a_{n + 1}$。

思考2. 若将本例的条件“项数为奇数”改为“项数为100”，求这个数列的公差.

答案： 思考2.解：设数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$50d = 33 - 44$，解得$d = -\frac{11}{50}$。

已知等差数列$\{ a_{n}\}$的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.

答案： 解：设等差数列$\{ a_{n}\}$的项数为$2m + 1$，公差为$d$，则数列的中间项为$a_{m + 1}$，奇数项有$(m + 1)$项，偶数项有$m$项。依题意，有$S_{奇}=(m + 1)a_{m + 1}=216$①，$S_{偶}=ma_{m + 1}=192$②。
①÷②，得$\frac{m + 1}{m}=\frac{216}{192}$，解得$m = 8$，所以数列$\{ a_{n}\}$共有$2m + 1 = 17$(项)。
把$m = 8$代入②，得$a_{9}=24$。
又因为$a_{1}+a_{17}=2a_{9}$，所以末项为$a_{17}=2a_{9}-a_{1}=47$，公差$d=\frac{a_{17}-a_{9}}{17 - 9}=\frac{23}{8}$，故$a_{n}=1+(n - 1)×\frac{23}{8}=\frac{23}{8}n-\frac{15}{8}(n\leqslant17)$。

例2 记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，若$a_{1}=25$，$S_{17}=S_{9}$，则数列$\{ a_{n}\}$的前多少项之和最大？求此最大值.

答案： 例2 解：(方法一)设数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$。由$\begin{cases}a_{1}=25,\\S_{17}=S_{9},\end{cases}$得$17×25+\frac{17×16}{2}d=9×25+\frac{9×8}{2}d$，得$d = - 2$。
所以$S_{n}=25n+\frac{n(n - 1)}{2}×(-2)=-(n - 13)^{2}+169$。
故当$n = 13$时，$S_{n}$取得最大值$169$。所以前$13$项之和最大，最大值是$169$。
(方法二)设数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$。由$\begin{cases}a_{1}=25,\\S_{17}=S_{9},\end{cases}$得$17×25+\frac{17×16}{2}d=9×25+\frac{9×8}{2}d$，得$d = - 2$。
又$S_{n}=\frac{d}{2}n^{2}+(a_{1}-\frac{d}{2})n(d＜0)$，所以$S_{n}$的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为$\frac{9 + 17}{2}=13$，即$S_{13}$最大，最大值为$25×13+\frac{13×12}{2}×(-2)=169$。
(方法三)设数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$。因为$S_{17}=S_{9}$，所以$a_{10}+a_{11}+·s +a_{17}=0$，所以$a_{10}+a_{17}=a_{11}+a_{16}=·s =a_{13}+a_{14}=a_{1}+a_{26}=0$。
因为$a_{1}=25＞0$，所以$a_{26}=-25$，$d = - 2$。
所以$a_{13}＞0$，$a_{14}＜0$。
所以$S_{13}$最大，最大值为$25×13+\frac{13×12}{2}×(-2)=169$。
(方法四)设数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$。由$\begin{cases}a_{1}=25,\\S_{17}=S_{9},\end{cases}$得$17×25+\frac{17×16}{2}d=9×25+\frac{9×8}{2}d$，得$d = - 2$。
因为$a_{1}=25＞0$，由$\begin{cases}a_{n}=25-2(n - 1)\geqslant0,\\a_{n + 1}=25-2n\leqslant0,\end{cases}$得$\begin{cases}n\leqslant13\frac{1}{2},\\n\geqslant12\frac{1}{2}.\end{cases}$
所以当$n = 13$时，$S_{n}$有最大值，最大值为$25×13+\frac{13×12}{2}×(-2)=169$。