《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 函数 $ y = (1 - \sqrt{x}) \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) $ 的导数为$-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.

答案： 1.$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 解析:因为$y = (1 - \sqrt{x}) · (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) = 1 - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$,
所以$y' = (x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})' = (x^{-\frac{1}{2}})' - (x^{\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.

2. 函数 $ y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} $ 的导数为$\sin x - \cos x$.

答案： 2.$y' = \sin x - \cos x$ 解析:因为$y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x - \cos x} = -\sin x - \cos x$,所以$y' = (-\sin x - \cos x)' = \sin x - \cos x$.

3. 函数 $ y = \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{x}} $ 的导数为$\frac{2}{(1 - x)^2}$.

答案： 3.$y' = \frac{2}{(1 - x)^2}$ 解析:因为$y = \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{x}} = \frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$,所以$y' = \frac{2}{(1 - x)^2}$.

例 1 求下列函数的导数.
（1）$ y = \left( 2x^{3} - x + \frac{1}{x} \right)^{4} $；
（2）$ y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x^{2}}} $；
（3）$ y = \sin^{2} \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) $；
（4）$ y = x\sqrt{1 + x^{2}} $.

答案： 例 1 解:
(1)$y' = [(2x^3 - x + \frac{1}{x})^4]'$
$= 4(2x^3 - x + \frac{1}{x})^3(2x^3 - x + \frac{1}{x})'$
$= 4(2x^3 - x + \frac{1}{x})^3(6x^2 - 1 - \frac{1}{x^2})$.
(2)$y' = (\frac{1}{\sqrt{1 - 2x^2}})' = [(1 - 2x^2)^{-\frac{1}{2}}]'$
$= -\frac{1}{2}(1 - 2x^2)^{-\frac{3}{2}} · (1 - 2x^2)'$
$= 2x(1 - 2x^2)^{-\frac{3}{2}}$
$= \frac{2x}{(1 - 2x^2)\sqrt{1 - 2x^2}}$.
(3)$y' = [\sin^2(2x + \frac{\pi}{3})]'$
$= 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) · [\sin(2x + \frac{\pi}{3})]'$
$= 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) · \cos(2x + \frac{\pi}{3}) · (2x + \frac{\pi}{3})'$
$= 2\sin(4x + \frac{2\pi}{3})$.
(4)$y' = (x\sqrt{1 + x^2})'$
$= x'\sqrt{1 + x^2} + x(\sqrt{1 + x^2})'$
$= \sqrt{1 + x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$
$= \frac{(1 + 2x^2)\sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$.

求下列复合函数的导数.
（1）$ y = (3x - 2)^{2} $；
（2）$ y = \ln(6x + 4) $；
（3）$ y = \sin(2x + 1) $；
（4）$ y = \sqrt{3x + 5} $.

答案： 解:
(1)函数$y = (3x - 2)^2$可以看作函数$y = u^2$和$u = 3x - 2$的复合函数.根据复合函数的求导法则,有$y'_x = y'_u · u'_x = (u^2)' · (3x - 2)' = 6u = 18x - 12$.
(2)函数$y = \ln(6x + 4)$可以看作函数$y = \ln u$和$u = 6x + 4$的复合函数.根据复合函数的求导法则,有$y'_x = y'_u · u'_x = (\ln u)' · (6x + 4)' = \frac{6}{u} = \frac{6}{6x + 4} = \frac{3}{3x + 2}$.
(3)函数$y = \sin(2x + 1)$可以看作函数$y = \sin u$和$u = 2x + 1$的复合函数.根据复合函数求导法则,有$y'_x = y'_u · u'_x = (\sin u)' · (2x + 1)' = 2\cos u = 2\cos(2x + 1)$.
(4)函数$y = \sqrt{3x + 5}$可以看作函数$y = \sqrt{u}$和$u = 3x + 5$的复合函数.根据复合函数求导法则,有$y'_x = y'_u · u'_x = (\sqrt{u})' · (3x + 5)' = \frac{3}{2\sqrt{u}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 5}}$.