《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

一般地，对于两个函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，如果通过中间变量 $ u $，$ y $ 可以表示成 $ x $ 的函数，那么称这个函数为函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 的复合函数，记作$y = f(g(x))$.

答案： $y = f(g(x))$

一般地，对于由函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 复合而成的函数 $ y = f(g(x)) $，它的导数与函数 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $ 的导数间的关系为$y'_x = y'_u · u'_x$. 即 $ y $ 对 $ x $ 的导数等于 $ y $ 对 $ u $ 的导数与 $ u $ 对 $ x $ 的导数的乘积.

答案： $y'_x = y'_u · u'_x$ 乘积

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）函数 $ y = \sin^{2}x $ 是由 $ y = u^{2} $ 与 $ u = \sin x $ 复合而成的.（√）
（2）研究函数 $ y = 2^{\ln x} $ 时，可引入中间变量 $ u = \ln x $.（√）
（3）若函数 $ y = \ln(2x) $，则 $ y' = \frac{1}{2x} $.（×）
（4）$ y = x\cos x $ 是复合函数.（×）

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)× 提示:$y' = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$.
(4)× 提示:$y = x\cos x$是两个函数的积.

2.（多选）下列式子正确的是（BD）
A.$ \left( \cos \frac{\pi}{6} \right)' = -\sin \frac{\pi}{6} $
B.$ (e^{2x})' = 2e^{2x} $
C.$ (\sin 3x)' = 3\cos x $
D.$ [\ln(-x + 1)]' = \frac{1}{x - 1} $

答案： 2.BD 解析:$(\cos \frac{\pi}{6})' = 0$,$(e^{2x})' = 2e^{2x}$,$(\sin 3x)' = 3\cos 3x$,$[\ln(-x + 1)]' = \frac{-1}{-x + 1} = \frac{1}{x - 1}$,所以 B,D 正确.

3. 请思考并回答下列问题：
（1）借助函数 $ y = \ln(2x - 1) $，说明如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的.
（2）试用两种方法求函数 $ y = \sin 2x $ 的导数，由此验证复合函数的求导法则.

答案： 3.
(1)提示:计算自变量$x = 1$时$y = \ln(2x - 1)$的函数值,可分以下两步:
①计算$2 × 1 - 1 = 1$,用的函数是一次函数$u = 2x - 1$;
②计算$y = \ln 1 = 0$,用的函数是对数函数$y = \ln u$.
据此可知,函数$y = \ln(2x - 1)$是由内层为一次函数$u = 2x - 1$和外层对数函数$y = \ln u$复合而成的.
(2)提示:(方法一)函数$y = \sin 2x$可以看作函数$y = \sin u$和$u = 2x$的复合函数,根据复合函数求导法则有$y'_x = y'_u · u'_x = (\sin u)' · (2x)' = 2\cos u = 2\cos 2x$.
(方法二)因为$y = \sin 2x = 2\sin x\cos x$,所以$y' = 2\cos^2 x - 2\sin^2 x = 2\cos 2x$.