《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，$a_{3}=\frac{5}{4}$，$a_{7}=-\frac{7}{4}$，求$a_{15}$的值.

答案： 1.解：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$.
由$\begin{cases}a_3=\frac{5}{4},\\a_7=\frac{7}{4},\end{cases}$得$\begin{cases}a_1 + 2d=\frac{5}{4},\\a_1 + 6d=\frac{7}{4},\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=\frac{11}{4},\\d=-\frac{3}{4}.\end{cases}$
所以$a_{15}=a_1+(15 - 1)d=\frac{11}{4}+14×(-\frac{3}{4})=-\frac{31}{4}$.

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1}+a_{3}+a_{5}=18$，$a_{5}+a_{7}=-6$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 2.解：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$.
由$a_1 + a_3 + a_5 = 3a_3 = 18$，得$a_3 = 6$，
由$a_5 + a_7 = 2a_6 = -6$，得$a_6 = -3$，
故公差$d=\frac{a_6 - a_3}{6 - 3}=\frac{-3 - 6}{3}=-3$.
故数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_3+(n - 3)d = 6-3(n - 3)=-3n + 15$.

例2 已知$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，判断$\frac{b + c}{a}$，$\frac{a + c}{b}$，$\frac{a + b}{c}$是否成等差数列.

答案： 例2 解：因为$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$成等差数列，所以$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$，
因此$2·\frac{a + c}{b}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)(a + c)-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}-\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=2 - b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=0$，
所以$\frac{b + c}{a},\frac{a + b}{c}$成等差数列.

思考1. 在$7$和$21$之间插入$3$个数，使这$5$个数成等差数列，求插入的$3$个数.

答案： 思考1.提示：设这个等差数列为$\{a_n\}$，
则$a_3=\frac{a_1 + a_5}{2}=\frac{7 + 21}{2}=14$，
$a_2=\frac{a_1 + a_3}{2}=\frac{7 + 14}{2}=\frac{21}{2}$，
$a_4=\frac{a_3 + a_5}{2}=\frac{14 + 21}{2}=\frac{35}{2}$，
所以插入的3个数依次为$\frac{21}{2},14,\frac{35}{2}$.

思考2. 若$m$和$2n$的等差中项为$4$，$2m$和$n$的等差中项为$5$，求$m$和$n$的等差中项.

答案： 思考2.提示：由$m$和$2n$的等差中项为4，得$m + 2n = 8$.
又由$2m$和$n$的等差中项为5，得$2m + n = 10$.
两式相加，得$m + n = 6$.
所以$m$和$n$的等差中项为$\frac{m + n}{2}=3$.