《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 1 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+\frac {1}{2}a_{2}+\frac {1}{3}a_{3}+·s +\frac {1}{n}a_{n}=n^{2}+n(n\in N^{*})$，设数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac {2n + 1}{a_{n}a_{n + 1}}$，数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$. 若$T_{n}＜\frac {n}{n + 1}\lambda (n\in N^{*})$恒成立，则实数$\lambda$的取值范围为（D）
A. $\frac {1}{4},+\infty )$
B. $(\frac {1}{4},+\infty )$
C. $\frac {3}{8},+\infty )$
D. $(\frac {3}{8},+\infty )$
【总结升华】
数列与不等式交汇问题的求解策略
（1）判断与数列相关的一些不等关系，可以借助数列的单调性或与数列对应的函数的单调性.
（2）以数列为载体的不等式恒成立问题，往往可转化为函数的最值问题.
（3）与数列有关的不等式证明问题，一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.

答案： 例1 D 解析：数列$\{a_n\}$满足$a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{3}a_3+·s+\frac{1}{n}a_n=n^2+n$①，
当$n\geq2$时，$a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{3}a_3+·s+\frac{1}{n-1}a_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)$②，
①-②得$\frac{1}{n}a_n=2n$，故$a_n=2n^2$。
当$n=1$时，$a_1=2$也满足上式.
故$b_n=\frac{2n+1}{a_na_{n+1}}=\frac{2n+1}{4n^2(n+1)^2}=\frac{1}{4}[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}]$。
则$T_n=\frac{1}{4}[1-(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{3})^2+·s+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}]=\frac{1}{4}[1-\frac{1}{(n+1)^2}]$。
$T_n＜\frac{n}{n+1}\lambda(n\in N^*)$，
即$\frac{1}{4}[1-\frac{1}{(n+1)^2}]＜\frac{n}{n+1}\lambda$，整理得$\lambda＞\frac{n+2}{4n+4}$。
因为$y=\frac{n+2}{4n+4}=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n+1})$在$n\in N^*$时单调
递减，
所以当$n=1$时，$(\frac{n+2}{4n+4})_{\max}=\frac{3}{8}$，
所以$\lambda＞\frac{3}{8}$，即实数$\lambda$的取值范围为$(\frac{3}{8},+\infty)$。故
选D。

例 2 （1）已知函数$f(x)=\frac {1}{3}x^{3}+4x$，记等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$f(a_{1}+2)=100$，$f(a_{2024}+2)=-100$，则$S_{2024}$等于（A）
A. $-4048$
B. $-2024$
C. $2024$
D. $4048$
（2）已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_{1}=1$，公差$d\in [1,2]$，且$a_{4}+\lambda a_{10}+a_{16}=15$，则实数$\lambda$的最大值为$-\frac{1}{2}$.
【总结升华】
数列与函数交汇问题的求解策略
（1）已知函数条件，解决数列问题：此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
（2）已知数列条件，解决函数问题：解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前$n$项和公式、求和方法等对式子化简变形.

答案： 例2
(1)A 解析：因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，
且$f(-x)=-\frac{1}{3}x^3-4x=-f(x)$，
所以$f(x)$是奇函数.
因为$f(a_1+2)=100,f(a_{2024}+2)=-100$，
所以$f(a_1+2)=-f(a_{2024}+2)$，
所以$a_1+2+a_{2024}+2=0$，所以$a_1+a_{2024}=-4$，所以
$S_{2024}=\frac{2024(a_1+a_{2024})}{2}=-4048$.故选A。
(2)$-\frac{1}{2}$ 解析：因为$a_4+\lambda a_{10}+a_{16}=15$，所以$a_1+3d+\lambda(a_1+9d)+a_1+15d=15$，则$\lambda=\frac{15}{1+9d}-2$。
令$t=1+9d$，因为$d\in[1,2]$，所以$t\in[10,19]$，则
$f(t)=\frac{15}{t}-2$。
当$t\in[10,19]$时，函数$f(t)$单调递减，故当$t=10$时，
实数$\lambda$有最大值，最大值为$f(10)=-\frac{1}{2}$。