《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 4 (1) 已知递减等差数列$\{ a_{n}\}$前三项的和为 18，前三项的积为 66，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
(2) 已知两个等差数列 2，5，8，$·s$，197 与 2，7，12，$·s$，197，求它们的相同项构成的数列的通项公式及相同项的个数.

答案： 例4 解:
(1)(方法一)设等差数列\{a_n\}的公差为d.
依题意,得$\begin{cases}a_1 + a_2 + a_3 = 18,\\a_1a_2a_3 = 66,\end{cases}$
所以$\begin{cases}3a_1 + 3d = 18,\\a_1(a_1 + d)(a_1 + 2d) = 66,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1 = 11,\\d = -5\end{cases}$或$\begin{cases}a_1 = 1,\\d = 5.\end{cases}$
因为数列\{a_n\}是递减等差数列,所以d ＜ 0.
故$a_1 = 11,d = -5.$
所以a_n = 11 + (n - 1) × (-5) = -5n + 16,
即等差数列\{a_n\}的通项公式为a_n = -5n + 16.
(方法二)设等差数列\{a_n\}的前三项依次为a - d,a,a + d,则$\begin{cases}(a - d) + a + (a + d) = 18,\a - d)a(a + d) = 66,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 6,\\d = \pm 5.\end{cases}$
又因为数列\{a_n\}是递减等差数列,所以d ＜ 0.
所以a = 6,d = -5.
所以等差数列\{a_n\}的首项为11,公差为-5.
所以a_n = 11 + (n - 1) × (-5) = -5n + 16.
(2)记数列2,5,8,·s,197为\{a_n\},由已知,数列\{a_n\}的首项为2,公差为3,
所以通项公式为$a_n = 3n - 1(1 \leq n \leq 66).$
记数列2,7,12,·s,197为\{b_m\},由已知得,数列\{b_m\}的首项为2,公差为5,则$b_m = 5m - 3(1 \leq m \leq 40).$
(方法一)若数列\{a_n\}的第n项与数列\{b_m\}的第m项相同,
即a_n = b_m,则3n - 1 = 5m - 3,
所以$n = \frac{5m - 2}{3} = m + \frac{2(m - 1)}{3}.$
又$n \in \mathbf{N}^*,1 \leq m \leq 40,$所以$m - 1 = 3k(k \in \mathbf{N}),$即m = 3k + 1.
所以m = 1,4,7,·s,40.
所以两数列的相同项为2,17,32,·s,197.
记两数列的相同项构成的数列为\{c_n\},则\{c_n\}的通项公式为c_n = 15n - 13,共有$\frac{40 - 1}{3} + 1 = 14($个)相同项.
(方法二)设它们的相同项构成的数列为\{c_n\},则$c_1 = 2.$
因为数列\{a_n\},\{b_n\}为等差数列,所以数列\{c_n\}仍为等差数列,且公差d = 15.
所以$c_n = c_1 + (n - 1)d = 2 + (n - 1) × 15 = 15n - 13.$
令$2 \leq 15n - 13 \leq 197,$得$1 \leq n \leq 14,$所以两数列共有14个相同项.

已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求这四个数.

答案： 解:设这四个数分别为a - 3d,a - d,a + d,a + 3d.
根据题意,得
$\begin{cases}(a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 26,\a - d)(a + d) = 40,\end{cases}$
化简,得$\begin{cases}4a = 26,\\a^2 - d^2 = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{13}{2},\\d = \pm \frac{3}{2}.\end{cases}$
所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.