《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 2 函数 $ y = f(x) $ 的图象如图，$ P_0P $ 是过点 $ P_0(x_0, f(x_0)) $ 与点 $ P(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x)) $ 的一条割线，此割线的斜率是 $\frac{\Delta y}{\Delta x} =$$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. 当点 $ P $ 沿曲线趋近于点 $ P_0 $ 时，割线 $ P_0P $ 绕点 $ P_0 $ 转动，它的极限位置为直线 $ P_0T $，这条直线 $ P_0T $ 叫做此曲线在点 $ P_0 $ 处的切线. 于是，当 $\Delta x \to 0$ 时，割线 $ P_0P $ 的斜率无限趋近于过点 $ P_0 $ 的切线 $ P_0T $ 的斜率 $ k $，即 $ k =$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

答案： 例 2 $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 切线 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

求曲线 $ f(x) = x - \frac{1}{x} $ 在点 $(1, 0)$ 处的切线的方程.

答案： 解：曲线$f(x) = x - \frac{1}{x}$在点(1,0)处的切线斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (1 + \frac{1}{1 + \Delta x}) = 2$.
故所求切线方程为y = 2(x - 1)，即2x - y - 2 = 0.