《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

（2）利用导数判断下列函数的单调性。
① $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 2x - 5$；
② $f(x) = x - e^{x}(x ＞ 0)$。

答案： （2）解：①因为$f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x - 5，$x∈R，所以$f'(x)=x^2 - 2x + 2=(x - 1)^2 + 1＞0，$所以函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x - 5$在R上单调递增.
②因为f(x)=x - e^x，x∈(0,+∞)，所以f'(x)=1 - e^x＜0，所以f(x)=x - e^x在(0,+∞)上单调递减.

1. （多选）下列函数中，在$(-\infty,+\infty)$上单调递增的有 （BD）
A.$f(x) = x^{4}$
B.$f(x) = x - \sin x$
C.$f(x) = xe^{x}$
D.$f(x) = e^{x} - e^{-x} - 2x$

答案： 1.BD 解析：对于A选项，由$f(x)=x^4$得$f'(x)=4x^3，$当x＞0时，$f'(x)=4x^3＞0，$则f(x)单调递增；当x＜0时，f'(x)=4x^3＜0，则f(x)单调递减，故排除A.对于B选项，由f(x)=x - \sin x得f'(x)=1 - \cos x\geq0，显然f'(x)不恒为零，所以f(x)=x - \sin x在(-∞,+∞)上单调递增，故B满足题意.对于C选项，由f(x)=xe^x得f'(x)=(1 + x)e^x，当x＞-1时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＜-1时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减，故排除C.对于D选项，由$f(x)=e^x - e^{-x} - 2x$得$f'(x)=e^x + e^{-x} - 2\geq2\sqrt{e^x· e^{-x}} - 2=0，$当且仅当x=0时，等号成立，故f'(x)不恒为零，所以$f(x)=e^x - e^{-x} - 2x$在(-∞,+∞)上单调递增，故D满足题意.故选BD.

2. 利用导数判断函数$f(x) = \ln x + e^{x}$在其定义域上的单调性。

答案： 2.解：函数的定义域为(0,+∞).
因为$f'(x)=(\ln x + e^x)'=\frac{1}{x} + e^x，$
所以当x∈(0,+∞)时，$\frac{1}{x}＞0，$e^x＞1＞0，
所以f'(x)＞0，
所以$f(x)=\ln x + e^x$在其定义域上单调递增.

例2 求下列函数的单调区间。
（1）$f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 36x + 1$；
（2）$f(x) = \frac{\ln x}{x}$。

答案： 例2 解：
(1)函数$f(x)=2x^3 + 3x^2 - 36x + 1$的定义域为R.对f(x)求导数，得$f'(x)=6x^2 + 6x - 36=6(x - 2)(x + 3).$
由f'(x)＞0，解得x＜-3或x＞2；
由f'(x)＜0，解得-3＜x＜2.
故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)，(2,+∞)，单调递减区间是(-3,2).
(2)函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的定义域为(0,+∞)，对f(x)求导数，得
$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}· x - \ln x}{x^2}=\frac{1 - \ln x}{x^2}.$
令f'(x)＞0，即$\frac{1 - \ln x}{x^2}＞0，$则$\ln x＜1，$解得0＜x＜e；
令f'(x)＜0，即\frac{1 - \ln x}{x^2}＜0，则\ln x＞1，解得x＞e.
故f(x)的单调递增区间是(0,e)，单调递减区间是(e,+∞).