《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 3 用数学归纳法证明：$ a^{n + 1} + (a + 1)^{2n - 1}(n \in \mathbf{N}^*,a \in \mathbf{R}) $ 能被 $ a^2 + a + 1 $ 整除.

答案： 例3 证明：
(1)当n=1时，a²+(a+1)¹=a²+a+1，
显然能被a²+a+1整除，命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N∗)时，命题成立，
即$a^{k + 1}+(a+1)^{2k - 1}$能被a²+a+1整除.
当n=k+1时，
$a^{k + 2}+(a+1)^{2k + 1}=a·a^{k + 1}+(a+1)²(a+1)^{2k - 1}=a[a^{k + 1}+(a+1)^{2k - 1}]+(a+1)²(a+1)^{2k - 1}-a(a+1)^{2k - 1}$
$=a[a^{k + 1}+(a+1)^{2k - 1}]+(a²+a+1)(a+1)^{2k - 1}.$
因为$a^{k + 1}+(a+1)^{2k - 1}$与a²+a+1都能被a²+a+1整除，
所以上式能被a²+a+1整除，
即当n=k+1时，命题也成立.
由
(1)
(2)知，对一切n∈N∗，a∈R，命题都成立.

用数学归纳法证明：$ 2^{3n} - 1(n \in \mathbf{N}^*) $ 能被 7 整除.

答案： 证明：
(1)当n=1时，$2^{3×1}-1=8 - 1=7，$能被7整除.
(2)假设当n=k(k∈N∗)时，$2^{3k}-1$能被7整除.
那么当n=k+1时，$2^{3(k + 1)}-1=8×2^{3k}-1=8×2^{3k}-8+7.$
因为$2^{3k}-1$能被7整除，
所以$8(2^{3k}-1)+7$能被7整除，
即当n=k+1时，命题也成立.
由
(1)
(2)可知，$2^{3n}-1(n∈N∗)$能被7整除.