《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

（1）如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母$d$表示．
（2）由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时$A$叫做$a$与$b$的等差中项，且$A=$$\dfrac{a+b}{2}$．

答案： 第2项 前一项 同一个常数 公差 $d$ $a+b$

（1）首项为$a_{1}$，公差为$d$的等差数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$.
（2）第$n$项与第$m(m\neq n)$项的关系为$a_{n}=a_{m}+(n - m)d$，从而变形可得$d=\frac{a_{n}-a_{m}}{n - m}$.

答案： （1）$a_n=a_1+(n-1)d$

（1）由于$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=$$dn$$+(a_{1}-d)$，所以当$d\neq 0$时，等差数列$\{ a_{n}\}$的第$n$项$a_{n}$是一次函数$f(x)=dx+(a_{1}-d)(x\in \mathbf{R})$当$x = n$时的函数值，即$a_{n}=$$f(n)$.
（2）任给一次函数$f(x)=kx + b$（$k$，$b$为常数），则$f(1)=k + b$，$f(2)=$$2k+b$，$·s$，$f(n)=$$nk+b$，$·s$构成一个等差数列$\{nk+b\}$，其首项为$k + b$，公差为$k$.

答案： （1）$dn$ $f(n)$
（2）$2k+b$ $nk+b$ $\{nk+b\}$ $k$

【概念辨析】
1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列.（×）
（2）数列$0$，$0$，$0$，$0$，$·s$不是等差数列.（×）
（3）在等差数列中，除第$1$项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项.（√）

答案： 1.（1）$×$ （2）$×$ （3）$\surd$

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1}=5$，公差$d = 3$，则当$a_{n}=2024$时，$n=$（674）
A.$671$
B.$672$
C.$673$
D.$674$

答案： 2.D 解析：因为$a_1 = 5,d = 3$，所以$a_n = 5+(n - 1)×3 = 3n+2$.令$3n + 2 = 2024$，得$n = 674$.故选D.

3. 请思考并回答下列问题：
（1）已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1,\\n + 1,n\geq 2,\end{cases}$那么$\{ a_{n}\}$是等差数列吗？为什么？
（2）数列$1$，$2$，$1$，$2$，$1$，$2$的相邻两项的差（大减小）都是$1$，这个数列是等差数列吗？为什么？
（3）任意两个数都有等差中项吗？
（4）等差数列$\{ a_{n}\}$一定是递增数列吗？如果不是，有哪些可能的情况？

答案： 3.（1）提示：不是.该数列为$1,3,4,5,6,·s$，第2项与第1项的差是2，从第3项起，每一项与它的前一项的差都是1，不符合等差数列的定义.
（2）提示：不是.等差数列的定义中“每一项与它的前一项的差”是指“相邻两项中用后项减去前项”.
（3）提示：任意两个数都有等差中项.
（4）提示：不一定.若公差$d＞0$，则数列$\{a_n\}$为递增数列；若公差$d＜0$，则数列$\{a_n\}$为递减数列；若公差$d = 0$，则数列$\{a_n\}$为常数列.