《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

若各项均为正数的数列$\{ c_{n}\}$满足 $ c_{n}c_{n + 2}-c_{n + 1}^{2}=kc_{n}c_{n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*},k $ 为常数)，则称$\{ c_{n}\}$为“比差等差数列”.已知$\{ a_{n}\}$为“比差等差数列”，且 $ a_{1}=\frac{5}{8} $，$ a_{2}=\frac{15}{16} $，$ 3a_{4}=2a_{5} $.
(1) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 设 $ b_{n}=\begin{cases}a_{n},n 为奇数,\\b_{n - 1}+1,n 为偶数,\end{cases}$求数列$\{ b_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $.

答案： 解：
(1)由$\{a_n\}$为“比差数列”，得$a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=ka_na_{n+1}$.又$\{a_n\}$的各项均为正数，从而$\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}}=k$.设$d_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$，则$d_{n+1}-d_n=k$，所以数列$\{d_n\}$为等差数列.因为$d_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{2},d_4=\frac{a_5}{a_4}=\frac{3}{2}$，所以$\{d_n\}$为常数列，因此，$d_n=d_1=\frac{3}{2}$，即$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{2}$，所以$\{a_n\}$是首项为$\frac{5}{8}$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，因此$a_n=\frac{5}{8}×(\frac{3}{2})^{n-1}$.
(2)当$n$为偶数时，$S_n=b_1+b_2+·s+b_n=2(b_1+b_3+·s+b_{n-1})+\frac{n}{2}=2×(a_1+a_3+·s+a_{n-1})+\frac{n}{2}=2×\frac{\frac{5}{8}[1-(\frac{9}{4})^{\frac{n}{2}}]}{1-\frac{9}{4}}+\frac{n}{2}=(\frac{9}{4})^{\frac{n}{2}}+\frac{n}{2}-1=(\frac{3}{2})^n+\frac{n}{2}-1$；当$n$为奇数时，$S_n=S_{n+1}-b_{n+1}=(\frac{3}{2})^{n+1}+\frac{n+1}{2}-1-\frac{5}{8}×(\frac{3}{2})^{n-1}-1=\frac{13}{12}×(\frac{3}{2})^n+\frac{n-3}{2}$.

例 2 (1) 在各项均为正数的等比数列$\{ a_{n}\}$中，$ a_{1}=2 $，且 $ a_{2} $，$ a_{4}+2 $，$ a_{5} $ 成等差数列，$ S_{n} $ 是数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和，则 $ S_{10}-S_{4}= $2016.
(2) 已知数列$\{ a_{n}\}$是公差为 $ 2 $ 的等差数列，它的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且 $ a_{1}+1 $，$ a_{3}+1 $，$ a_{7}+1 $ 成等比数列.
① 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
② 求数列$\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$的前 $ n $ 项和 $ T_{n} $.
①由题意，得$a_3+1=a_1+5,a_7+1=a_1+13$，由$(a_3+1)^2=(a_1+1)(a_7+1)$，得$(a_1+5)^2=(a_1+1)(a_1+13)$，解得$a_1=3$.所以$a_n=3+2(n-1)$，即$a_n=2n+1$.②由①知$a_1=3,a_n=2n+1$，则$S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\frac{n(n+2)}{2}$，所以$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{\frac{n(n+2)}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，所以$T_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+·s+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$.

答案： 例2
(1)2016 解析：设数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_2,a_4+2,a_5$成等差数列，所以$2a_4+4=a_2+a_5$.所以$2×2× q^3+4=2× q+2× q^4$.所以$q^4-2q^3+q-2=0$.所以$(q-2)(q^3+1)=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).所以$S_{10}-S_4=\frac{2×(1-2^{10})}{1-2}-\frac{2×(1-2^4)}{1-2}=2016$.
(2)解：①由题意，得$a_3+1=a_1+5,a_7+1=a_1+13$，由$(a_3+1)^2=(a_1+1)(a_7+1)$，得$(a_1+5)^2=(a_1+1)(a_1+13)$，解得$a_1=3$.所以$a_n=3+2(n-1)$，即$a_n=2n+1$.②由①知$a_1=3,a_n=2n+1$，则$S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\frac{n(n+2)}{2}$，所以$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{\frac{n(n+2)}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，所以$T_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+·s+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$.