《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例2 （1）若已知函数$y = 10^x$，则$y'|_{x = 1}$等于（C）
A.$\frac{1}{10}$
B.$10$
C.$10 \ln 10$
D.$\frac{1}{10 \ln 10}$

答案： （1）C 解析：因为$y' = 10^x \ln 10$，所以$y'|_{x = 1} = 10\ln 10$.

（2）已知一质点的运动方程是$s(t) = \sin t$，其中$s$是质点的位移，$t$是时间.
① 求质点在$t = \frac{\pi}{3}$时的速度；
② 求质点运动的加速度.

答案： （2）解：①因为$s'(t) = \cos t$，
所以$s'(\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，
即质点在$t = \frac{\pi}{3}$时的速度为$\frac{1}{2}$.
②令$v(t) = \cos t$，
所以加速度为$v'(t) = (\cos t)' = -\sin t$.

1. 求函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$在$x = 1$处的导数.
2. 求函数$f(x) = \cos x$在$x = \frac{\pi}{4}$处的导数.

答案： 1.解：因为$f'(x) = (\frac{1}{\sqrt[3]{x}})' = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$，
所以$f'(1) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{1}} = -\frac{1}{3}$.
2.解：因为$f'(x) = -\sin x$，
所以$f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.