《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，若 $ a_3 = \dfrac{1}{2} $，$ a_9 = 2 $，则 $ a_{15} = $8.

答案： 1.8 解析:因为$a_3a_{15}=a_9^2$，所以$a_{15}=\frac{a_9^2}{a_3}=\frac{2^2}{1}=8$.

2. 已知公比为 $ q $ 的等比数列 $ \{ a_n \} $，$ a_5 + a_9 = q $，则 $ a_6 (a_2 + 2a_6 + a_{10}) $ 的值为1.

答案： 2.1 解析:因为$a_5+a_9=q$，所以$a_4+a_8=1$.所以$a_6(a_2+2a_6+a_{10})=a_6a_2+2a_6^2+a_6a_{10}=a_4^2+2a_4a_8+a_8^2=(a_4+a_8)^2=1$.

3. 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_7 a_{11} = 6 $，$ a_4 + a_{14} = 5 $，求 $ \dfrac{a_{20}}{a_{10}} $.

答案： 3.解:设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$.因为$a_7a_{11}=a_4a_{14}=6,a_4+a_{14}=5$，所以$\begin{cases}a_4=2, \\a_{14}=3,\end{cases}$或$\begin{cases}a_4=3, \\a_{14}=2.\end{cases}$所以$q^{10}=\frac{3}{2}$或$q^{10}=\frac{2}{3}$.因为$\frac{a_{20}}{a_{10}}=q^{10}$，所以$\frac{a_{20}}{a_{10}}$的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$.

例1 数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，$ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = \dfrac{n + 2}{n} S_n $，$ n \in \mathbf{N}^* $，求证：数列 $ \left\{ \dfrac{S_n}{n} \right\} $ 为等比数列.

答案： 例1 证明:易知$S_n \neq 0$.因为$\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_n+a_{n+1}}{n+1}=\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_n}{n+1}-\frac{a_{n+1}}{n+1}=S_n+\frac{n+2}{n}S_n-\frac{2n+2}{n}S_n=2 × \frac{S_n}{n}$，所以$\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=2$.又$\frac{S_1}{1}=\frac{a_1}{1}=1$，所以数列$\{\frac{S_n}{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列.

思考1. 本例中为了证明数列 $ \left\{ \dfrac{S_n}{n} \right\} $ 为等比数列，需要先推出一个什么样的等式？为了得到这个等式，如何将已知条件变形？

答案： 思考1.提示:先推出$\frac{S_{n+1}}{n+1}$与$\frac{S_n}{n}$的关系式.将$a_{n+1}=\frac{n+2}{n}S_n$变为$S_{n+1}-S_n=\frac{n+2}{n}S_n$，所以$S_{n+1}=\frac{2n+2}{n}S_n=\frac{2(n+1)}{n} · \frac{S_{n+1}}{n+1}=2 · \frac{S_n}{n}$.

思考2. 将本例中数列 $ \{ a_n \} $ 满足的条件变为“$ a_1 = 2 $，$ a_{n + 1} = 4a_n - 3n + 1 (n \in \mathbf{N}^*) $”，证明数列 $ \{ a_n - n \} $ 是等比数列.

答案： 思考2.证明:由$a_{n+1}=4a_n-3n+1$，得$a_{n+1}-(n+1)=4(a_n-n),n \in N^*$.因为$a_1-1=1 \neq 0$，所以$a_n-n \neq 0$，所以$\frac{a_{n+1}-(n+1)}{a_n-n}=4$，所以数列$\{a_n-n\}$是以1为首项，4为公比的等比数列.