《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

一般地，证明一个与正整数 $ n $ 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 $ n = n_0(n_0 \in \mathbf{N}^*) $ 时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当 $ n = k(k \in \mathbf{N}^*,k \geq n_0) $ 时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 $ n_0 $ 开始的所有正整数 $ n $ 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

答案：
(2)n=k+1 数学归纳法

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）与自然数 $ n $ 有关的问题都可以用数学归纳法进行证明. （×）
（2）在利用数学归纳法证明命题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设. （×）
（3）用数学归纳法证明等式时，由 $ n = k $ 到 $ n = k + 1 $，等式的项数一定增加了 1. （×）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×

2. 当 $ n = 1 $ 时，式子 $ 1 + k + k^2 + ·s + k^n(n \in \mathbf{N}^*) $ 的值为（B）
A.1
B.$ 1 + k $
C.$ 1 + k + k^2 $
D.以上都不对

答案： 2.B

3. 请思考并回答下列问题：
（1）用数学归纳法证明时，第一步中，$ n $ 的初始值 $ n_0 $ 只能是 1 吗？举例说明.
（2）用数学归纳法证明时，在验证了 $ n = 1 $ 时命题正确，假定 $ n = k $ 时命题正确后，此时 $ k $ 的取值范围是什么？
（3）数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？

答案： 3.
(1)提示：用数学归纳法证明时，第一步中，n的初始值n₀应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如：用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n - 2)·180°时，其初始值n₀=3.
(2)提示：k≥1,k∈N∗.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又因为第一步是递推的基础，所以k大于等于1.
(3)提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠第一步，无法递推下去，即我们无法判定n取n₀以后的数时命题是否正确.同样只有第二步而缺少第一步，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了.