《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 瞬时速度就是一段时间内的平均速度. （×）
(2) 若平均速度不断增大，则位移关于时间的函数图象“越来越陡”. （√）
(3) 火箭发射 $ t $ s 后，其高度（单位：m）为 $ h(t) = 0.9t^2 $，火箭在 $ 1 \leq t \leq 2 $ 这段时间内的平均速度为 $ 2.7 $ m/s. （√）

答案： 1.
(1)× 提示：瞬时速度是∆t趋近于0时的平均速度.
(2)√ 提示：时间段长度相同，平均速度不断增大，图象越来越“陡”.
(3)√ 提示：由平均速度的定义可知$\bar{v} = \frac{0.9 × 4 - 0.9 × 1}{1} = 2.7(m/s)$.

2. 抛物线 $ f(x) = 2x^2 - 1 $ 在点 $(1, 1)$ 处的切线的方程为y = 4x - 3.

答案： 2.y = 4x - 3 解析：抛物线f(x)在点(1,1)处的切线斜率为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 4$，切线方程为y = 4x - 3.

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 若物体的位移 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系是 $ s(t) = 5t^2 $，则该物体在 $[1, 1 + \Delta t]$ 这段时间内的平均速度是多少？
(2) 当 $\Delta t$ 无限趋近于 $ 0 $ 时，上述问题 (1) 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

答案： 3.
(1)提示：$\bar{v} = \frac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{(1 + \Delta t) - 1} = 10 + 5\Delta t$.
(2)提示：当∆t无限趋近于0时，$\bar{v}$无限趋近于10，这时的10即为当t = 1时物体的瞬时速度.

1. 一质点做直线运动，位移 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系式为 $ s = t^2 + 1 $，则质点在时间段 $[1, 2]$ 内的平均速度为(3)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.C 解析：由题设可知平均速度$\bar{v} = \frac{2^{2} + 1 - (1^{2} + 1)}{2 - 1} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3$.故选C.

2. 物体甲、乙在时间段 $[0, t_1]$ 内位移 $ s $ 的变化情况如图所示，下列说法正确的是③.（填序号）
① 在 $[0, t_0]$ 内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
② 在 $[0, t_0]$ 内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③ 在 $[t_0, t_1]$ 内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④ 在 $[t_0, t_1]$ 内，甲的平均速度小于乙的平均速度.

答案： 2.③ 解析：在[0,t₀]内，甲、乙的平均速度都为$\frac{s_0}{t_0}$，故①②错误.
在[t₀,t₁]内，甲的平均速度为$\frac{s_2 - s_0}{t_1 - t_0}$，乙的平均速度为$\frac{s_1 - s_0}{t_1 - t_0}$.
因为$s_2 - s_0 ＞ s_1 - s_0$，$t_1 - t_0 ＞ 0$，所以$\frac{s_2 - s_0}{t_1 - t_0} ＞ \frac{s_1 - s_0}{t_1 - t_0}$，故③正确，④错误.

例 1 某物体的位移 $ s $（单位：m）与时间 $ t $（单位：s）的关系可用 $ s(t) = t^2 + t + 1 $ 表示，求物体在 $ t = 1 $ 时的瞬时速度.
一题多思
思考 1. 若本例中的条件不变，求物体的初速度.
思考 2. 若本例中的条件不变，试问：物体在哪一时刻的瞬时速度为 $ 9 $ m/s？

答案： 例1 解：因为$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t} = \frac{(1 + \Delta t)^{2} + (1 + \Delta t) + 1 - (1^{2} + 1 + 1)}{\Delta t} = 3 + \Delta t$，所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (3 + \Delta t) = 3$，即物体在t = 1s时的瞬时速度为3m/s.
思考1.解：求物体的初速度，即求物体在t = 0时的瞬时速度，因为$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0 + \Delta t) - s(0)}{\Delta t} = \frac{(0 + \Delta t)^{2} + (0 + \Delta t) + 1 - 1}{\Delta t} = 1 + \Delta t$，所以$\lim_{\Delta t \to 0} (1 + \Delta t) = 1$.即物体的初速度为1m/s.
思考2.解：设物体在t₀时刻的瞬时速度为9m/s.又$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = (2t_0 + 1) + \Delta t$，$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t_0 + 1 + \Delta t) = 2t_0 + 1$，则$2t_0 + 1 = 9$，所以t₀ = 4.则物体在t = 4时的瞬时速度为9m/s.