《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 计算：$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+·s +99^{2}-100^{2}$.

答案： 1.解：$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+·s+99^{2}-100^{2}=(1^{2}-2^{2})+(3^{2}-4^{2})+·s+(99^{2}-100^{2})=(1 - 2)×(1 + 2)+(3 - 4)×(3 + 4)+·s+(99 - 100)×(99 + 100)=-(1 + 2+3 + 4+·s+99 + 100)=-5050$。

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2a_{n}+1}$.
(1)若$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$，求证：$\{ b_{n}\}$为等差数列；
(2)求数列$\{ a_{n}a_{n + 1}\}$的前n项和$S_{n}$.

答案： 2.
(1)证明：因为$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2a_{n}+1}$，所以$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{2a_{n}+1}{a_{n}}=2+\frac{1}{a_{n}}$，即$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}}=2$，$b_{n + 1}-b_{n}=2$。
又因为$b_{1}=\frac{1}{a_{1}}=1$，所以$\{ b_{n}\}$是以$1$为首项，$2$为公差的等差数列。
(2)解：由
(1)可得$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}=2n - 1$，则$a_{n}=\frac{1}{2n - 1}$，所以$a_{n}a_{n + 1}=\frac{1}{2n - 1}·\frac{1}{2n + 1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$。
所以$S_{n}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+·s+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$。