《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 3 (1) 某公司经销一种产品，第 1 年可获利 200 万元. 从第 2 年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元. 按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将会亏损？
(2) 通常情况下，从地面到 10 km 高空，高度每增加 1 km，气温就下降某一个固定数值. 如果 1 km 高度的气温是 $8.5^{\circ}C$，5 km 高度的气温是 $-17.5^{\circ}C$，求 2 km，4 km，8 km 高度的气温.

答案： 例3 解:
(1)设第$n(n \in \mathbf{N}^*)$年的利润为$a_n$万元,
则$a_1 = 200$,$a_n - a_{n - 1} = -20(n \geq 2,n \in \mathbf{N}^*)$.
所以每年的利润可构成一个等差数列$\{a_n\}$,且公差$d = -20$.
所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 200 + (n - 1) × (-20) = 220 - 20n$.
若$a_n ＜ 0$,则该公司经销这一产品将会亏损.
由$a_n = 220 - 20n ＜ 0$,得$n ＞ 11$.
故从第$12$年起,该公司经销这一产品将会亏损.
(2)由题易知,自下而上各高度的气温构成等差数列,
设为$\{a_n\}$,公差为$d$,则$a_1 = 8.5$,$a_5 = -17.5$.
由$a_5 = a_1 + 4d = 8.5 + 4d = -17.5$,解得$d = -6.5$.
所以$a_n = 15 - 6.5n(1 \leq n \leq 10,n \in \mathbf{N}^*)$.
所以$a_2 = 2$,$a_4 = -11$,$a_8 = -37$,
即$2 km$,$4 km$,$8 km$高度的气温分别为$2° C$,$-11° C$,$-37° C$.

梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

答案： 解:用数列$\{a_n\}$表示梯子自上而下各级宽度所构成的等差数列,其公差设为$d$.
由已知,得$a_1 = 33$,$a_12 = 110$,$n = 12$.
则$a_12 = a_1 + (12 - 1)d$,
即$110 = 33 + 11d$,解得$d = 7$.
因此,$a_2 = 40$,$a_3 = 47$,$a_4 = 54$,$a_5 = 61$,$a_6 = 68$,$a_7 = 75$,$a_8 = 82$,$a_9 = 89$,$a_10 = 96$,$a_11 = 103$.
所以,梯子中间各级的宽度从上而下依次是$40 cm$,$47 cm$,$54 cm$,$61 cm$,$68 cm$,$75 cm$,$82 cm$,$89 cm$,$96 cm$,$103 cm$.