《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例3 已知曲线$y = \ln x$，点$P(e, 1)$是曲线上一点，求曲线在点$P$处的切线的方程.

答案： 解：因为$y' = \frac{1}{x}$，所以切线斜率$k = y'|_{x = e} = \frac{1}{e}$.
所以切线方程为$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$，即$x - ey = 0$.

思考1. 已知$y = kx + 1$是曲线$y = \ln x$的一条切线，求实数$k$的值.

答案： 解：设切点坐标为$(x_0, y_0)$，由题意得$y'|_{x = x_0} = \frac{1}{x_0} = k$.又$y_0 = kx_0 + 1$，$y_0 = \ln x_0$，解得$y_0 = 2$，$x_0 = e^2$，
所以$k = \frac{1}{e^2}$.

思考2. 求曲线$y = \ln x$过点$O(0, 0)$的切线的方程.

答案： 解：因为$O(0, 0)$不在曲线$y = \ln x$上，
所以设切点为$Q(x_0, y_0)$，则切线的斜率$k = \frac{1}{x_0}$.
又切线的斜率$k = \frac{y_0 - 0}{x_0 - 0} = \frac{\ln x_0}{x_0}$，所以$\frac{\ln x_0}{x_0} = \frac{1}{x_0}$，即$x_0 = e$，所以$Q(e, 1)$，所以$k = \frac{1}{e}$，
所以切线方程为$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$，即$x - ey = 0$.

1. 已知曲线$y = \frac{1}{x}$.
(1)求曲线在点$P(1, 1)$处的切线的方程；
(2)求曲线过点$Q(1, 0)$的切线的方程.

答案： 1.解：
(1)因为点$P(1, 1)$在曲线$y = \frac{1}{x}$上，且$y' = -\frac{1}{x^2}$，
所以曲线在点$P(1, 1)$处的切线的斜率$k = y'|_{x = 1} = -1$.
所以曲线在点$P(1, 1)$处的切线的方程为$y - 1 = -(x - 1)$，即$x + y - 2 = 0$.
(2)设曲线$y = \frac{1}{x}$过点$Q(1, 0)$的切线与曲线相切于点$A(x_0, \frac{1}{x_0})$，
则切线的斜率$k = -\frac{1}{x_0^2}$，
所以切线方程为$y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0)$.
因为点$Q(1, 0)$在切线上，
所以$-\frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(1 - x_0)$，解得$x_0 = \frac{1}{2}$
故所求的切线方程为$4x + y - 4 = 0$.

2. 求过曲线$f(x) = \cos x$上一点$P(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$且与曲线在这点处的切线垂直的直线的方程.

答案： 2.解：因为$f(x) = \cos x$，
所以$f'(x) = -\sin x$.
所以曲线$f(x) = \cos x$在点$P(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$处的切线的斜率为$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
所以所求直线的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所求直线方程为$y - \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{3})$，
即$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi + \frac{1}{2}$.