《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

4. 等差数列和等比数列的通项公式分别是什么？你是如何推导出它们的？等差数列和等比数列的图象分别有什么特点？

答案： 等差数列
1. 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$（$a_1$为首项，$d$为公差，$n \in \mathbb{N}^*$）
2. 推导过程：由定义$a_n - a_{n-1} = d$（$n \geq 2$），累加法得：
$a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + ·s + (a_n - a_{n-1}) = a_1 + (n-1)d$
3. 图象特点：在平面直角坐标系中，表示数列各项的点$(n, a_n)$在一条直线上，该直线的斜率为公差$d$，截距为$a_1 - d$。
等比数列
1. 通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$（$a_1$为首项，$q$为公比且$q \neq 0$，$n \in \mathbb{N}^*$）
2. 推导过程：由定义$\frac{a_n}{a_{n-1}} = q$（$n \geq 2$），累乘法得：
$a_n = a_1 · \frac{a_2}{a_1} · \frac{a_3}{a_2} ·s \frac{a_n}{a_{n-1}} = a_1 q^{n-1}$
3. 图象特点：在平面直角坐标系中，当$q ＞ 0$且$q \neq 1$时，表示数列各项的点$(n, a_n)$在指数函数$y = a_1 q^{x-1}$的图象上；当$q = 1$时，为常函数图象上的点；当$q ＜ 0$时，点的纵坐标正负交替。

5. “等差中项”“等比中项”与“平均数”之间有什么内在联系？等差数列、等比数列有许多有趣的性质，你能列举一些吗？

答案： 一、“等差中项”“等比中项”与“平均数”的内在联系
1. 等差中项与算术平均数：若A是a,b的等差中项，则A=(a+b)/2，即等差中项等于两数的算术平均数。
2. 等比中项与几何平均数：若G是a,b的等比中项（a,b同号），则G=±√(ab)，即等比中项的绝对值等于两数的几何平均数。
二、等差数列的性质
1. 定义：aₙ₊₁ - aₙ = d（常数，公差）。
2. 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d。
3. 若m+n=p+q（m,n,p,q∈N₊），则aₘ + aₙ = aₚ + a_q。
4. 公差d = (aₙ - aₘ)/(n - m)（n≠m）。
5. 前n项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2。
6. 连续k项的和仍成等差数列，即Sₖ, S₂ₖ - Sₖ, S₃ₖ - S₂ₖ,…成等差数列，公差为k²d。
三、等比数列的性质
1. 定义：aₙ₊₁/aₙ = q（常数，公比q≠0）。
2. 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹。
3. 若m+n=p+q（m,n,p,q∈N₊），则aₘ·aₙ = aₚ·a_q。
4. 公比q = (aₙ/aₘ)^(1/(n-m))（aₘ,aₙ≠0，n≠m）。
5. 前n项和公式：当q≠1时，Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)；当q=1时，Sₙ = na₁。
6. 连续k项的和（各项不为0）仍成等比数列，即Sₖ, S₂ₖ - Sₖ, S₃ₖ - S₂ₖ,…成等比数列，公比为qᵏ。
7. 等比中项：若G是a,b的等比中项（a,b同号），则G² = ab。

6. 推导等差数列、等比数列的前 $ n $ 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？

答案： 等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法。
设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，则$S_n = a_1 + a_2 + ·s + a_n$，$S_n = a_n + a_{n-1} + ·s + a_1$，两式相加得$2S_n = n(a_1 + a_n)$，故$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，又$a_n = a_1 + (n - 1)d$，所以$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$。
等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。
设等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$（$q \neq 1$），前$n$项和为$S_n$，则$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ·s + a_1q^{n-1}$，$qS_n = a_1q + a_1q^2 + ·s + a_1q^n$，两式相减得$(1 - q)S_n = a_1(1 - q^n)$，故$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；当$q = 1$时，$S_n = na_1$。

7. 为什么说数学归纳法的两个步骤（归纳奠基与归纳递推）缺一不可？你能说说两个步骤各自的作用吗？它们之间有怎样的关系？

答案： 1. 缺一不可的原因：仅归纳奠基只能验证命题在初始值成立，无法推广到所有后续正整数；仅归纳递推缺乏成立的基础，无法确定起始命题真伪，推理无效。
2. 归纳奠基的作用：验证命题在初始值$n=n_0$（如$n_0=1$）时成立，是整个推理的基础和起点。
3. 归纳递推的作用：在假设$n=k$时命题成立的条件下，证明$n=k+1$时命题成立，建立命题从$k$到$k+1$的传递性，确保命题对后续正整数成立。
4. 两者关系：归纳奠基是归纳递推的前提，提供推理起点；归纳递推是归纳奠基的延伸，实现从有限到无限的推广，二者结合保证命题对所有$n\geq n_0$成立。