《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2 - 5n + 4$.
(1) 数列$\{a_n\}$中有多少项为负数？
(2) 当$n$为何值时，$a_n$有最小值？求出最小值.

答案： 1.解:
(1)由$n^2 - 5n + 4 ＜ 0$，得$1 ＜ n ＜ 4$.
又$n\in\mathrm{N}^*$，所以$n = 2$或$n = 3$.
所以数列$\{a_n\}$中有2项为负数.
(2)因为$a_n = n^2 - 5n + 4=(n - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$，且$n\in\mathrm{N}^*$，所以$n = 2$或$n = 3$时，$a_n$有最小值$-2$.

2. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = (n + 2)·\left(\frac{9}{10}\right)^n$，求数列$\{a_n\}$中的最大项.

答案： 2.解:设$a_n(n\geqslant2)$为数列$\{a_n\}$中的最大项，所以$\begin{cases}a_n\geqslant a_{n - 1}\\a_n\geqslant a_{n + 1}\end{cases}$，即$\begin{cases}(n + 2)(\frac{9}{10})^n\geqslant(n + 1)(\frac{9}{10})^{n - 1}\\(n + 2)(\frac{9}{10})^n\geqslant(n + 3)(\frac{9}{10})^{n + 1}\end{cases}$，整理得$\begin{cases}(n + 2)·\frac{9}{10}\geqslant n + 1\\n + 2\geqslant(n + 3)·\frac{9}{10}\end{cases}$，解得$7\leqslant n\leqslant8$.
故$\{a_n\}$中的最大项为$a_7 = a_8=\frac{9^8}{10^7}$.