《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (1, 1) $ 处的切线与 $ x $ 轴、直线 $ x = 2 $ 所围成的三角形的面积为$\frac{8}{3}$.

答案： 1.$\frac{8}{3}$ 解析：因为切线斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + \Delta x)^{3} - 1^{3}}{\Delta x} = 3$，所以曲线在点$(1, 1)$处的切线的方程为$y - 1 = 3(x - 1)$，即$y = 3x - 2$.
它与$x$轴的交点为$(\frac{2}{3}, 0)$，与直线$x = 2$的交点为$(2, 4)$，所以围成三角形的面积$S = \frac{1}{2} × (2 - \frac{2}{3}) × 4 = \frac{8}{3}$.

2. 已知曲线 $ y = f(x) = x^2 $ 在点 $ P $ 处的切线满足下列条件，请分别求出点 $ P $ 的坐标.
(1)平行于直线 $ y = 6x - 5 $；
(2)垂直于直线 $ x - 3y + 5 = 0 $；
(3)倾斜角为 $ 135° $.

答案： 2.解：$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^{2} - x^{2}}{\Delta x} = 2x$，
设$P(x_{0}, y_{0})$是满足条件的点.
(1)因为切线与直线$y = 6x - 5$平行，
所以$2x_{0} = 6$，得$x_{0} = 3$，$y_{0} = 9$，即$P(3, 9)$是满足条件的点.
(2)因为切线与直线$x - 3y + 5 = 0$垂直，
所以$2x_{0} × \frac{1}{3} = -1$，得$x_{0} = -\frac{3}{2}$，$y_{0} = \frac{9}{4}$，
即$P(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$是满足条件的点.
(3)因为切线的倾斜角为$135^{\circ}$，
所以切线的斜率为$-1$，即$2x_{0} = -1$，得$x_{0} = -\frac{1}{2}$，$y_{0} = \frac{1}{4}$，即$P(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$是满足条件的点.

例2 求抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 过点 $ (4, \frac{7}{4}) $ 的切线的方程.
一题多思
思考1. 曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处的切线与曲线 $ y = f(x) $ 过点 $ (x_0, y_0) $ 的切线有何不同？
思考2. 将本例中“抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $”换为“曲线 $ y = \frac{1}{x} $”，求过点 $ (2, 0) $ 与此曲线相切的直线的方程.

答案： 例2 解：设切点为$(x_{0}, \frac{1}{4}x_{0}^{2})$，切线的斜率为$k$.因为$y^{\prime}|_{x = x_{0}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{4}(x_{0} + \Delta x)^{2} - \frac{1}{4}x_{0}^{2}}{\Delta x} = \frac{1}{2}x_{0}$，所以$k = \frac{\frac{7}{4} - \frac{1}{4}x_{0}^{2}}{4 - x_{0}} = \frac{1}{2}x_{0}$，即$x_{0}^{2} - 8x_{0} + 7 = 0$，解得$x_{0} = 7$或$x_{0} = 1$，故$k = \frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$.所以所求切线方程为$14x - 4y - 49 = 0$或$2x - 4y - 1 = 0$.
思考1.提示：求曲线$y = f(x)$在点$(x_{0}, f(x_{0}))$处的切线时，点$(x_{0}, f(x_{0}))$一定是切点，只要求出斜率$f^{\prime}(x_{0})$，利用切点和所求斜率写出切线方程即可；而求曲线$y = f(x)$过点$(x_{0}, y_{0})$的切线时，给出的点$(x_{0}, y_{0})$不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
思考2.解：设切点为$P(x_{0}, y_{0})$.由$y^{\prime}|_{x = x_{0}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{x_{0} + \Delta x}{x_{0}} - \frac{1}{x_{0}}}{\Delta x}$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-\Delta x}{x_{0} · (x_{0} + \Delta x) · x_{0}}}{\frac{1}{x_{0}^{2}}}$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{\Delta x · x_{0} · (x_{0} + \Delta x) · x_{0}} · x_{0}^{2}$$ = -\frac{1}{x_{0}^{2}}$，得所求切线方程为$y - y_{0} = -\frac{1}{x_{0}^{2}}(x - x_{0})$.因为点$(2, 0)$在切线上，所以$x_{0}^{2}y_{0} = 2 - x_{0}$.又点$P(x_{0}, y_{0})$在曲线$y = \frac{1}{x}$上，所以$x_{0}y_{0} = 1$.联立可解得$x_{0} = 1$，$y_{0} = 1$，故所求切线方程为$x + y - 2 = 0$.