《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

<题目>

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} = 0$ $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = 1$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} [3x^2 + 3x · \Delta x + (\Delta x)^2] = 3x^2$
$\lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} \right)$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x^2 + x · \Delta x} \right) = -\frac{1}{x^2}$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

答案： $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} = 0$ $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = 1$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} [3x^2 + 3x · \Delta x + (\Delta x)^2] = 3x^2$
$\lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} \right)$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x^2 + x · \Delta x} \right) = -\frac{1}{x^2}$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$ $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

（1）若$f(x) = c$（$c$是常数），则$f'(x) = $0.
（2）若$f(x) = x^{\alpha}$（$\alpha \in \mathbf{R}$，且$\alpha \neq 0$），则$f'(x) = $$\alpha x^{\alpha - 1}$.
（3）若$f(x) = \sin x$，则$f'(x) = $$\cos x$.
（4）若$f(x) = \cos x$，则$f'(x) = $$-\sin x$.
（5）若$f(x) = a^x$（$a ＞ 0$，且$a \neq 1$），则$f'(x) = $$a^x \ln a$；特别地，若$f(x) = e^x$，则$f'(x) = $$e^x$.
（6）若$f(x) = \log_a x$（$a ＞ 0$，且$a \neq 1$），则$f'(x) = $$\frac{1}{x \ln a}$；特别地，若$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = $$\frac{1}{x}$.

答案： （1）$0$ （2）$\alpha x^{\alpha - 1}$ （3）$\cos x$ （4）$-\sin x$ （5）$a^x \ln a$；$e^x$ （6）$\frac{1}{x \ln a}$；$\frac{1}{x}$