《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

对于函数 $ y = f(x) $，设自变量 $ x $ 从 $ x_0 $ 变化到 $ x_0 + \Delta x $，相应地，函数值 $ y $ 就从 $ f(x_0) $ 变化到 $ f(x_0 + \Delta x) $. 这时，$ x $ 的变化量为 $ \Delta x $，$ y $ 的变化量为 $ \Delta y = $$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$. 我们把比值 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $，即 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = $$\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$叫做函数 $ y = f(x) $ 从 $ x_0 $ 到 $ x_0 + \Delta x $ 的平均变化率.

答案： $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

如果当 $ \Delta x \to 0 $ 时，平均变化率 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $ 无限趋近于一个确定的值，即 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $ 有极限，则称 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处可导，并把这个确定的值叫做 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数（也称为瞬时变化率），记作$f^{\prime}(x_{0})$或$y^{\prime}\big|_{x = x_{0}}$，即 $ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$.

答案： 可导 $f^{\prime}(x_{0})$ $y^{\prime}\big|_{x = x_{0}}$ $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）若函数在某区间上的平均变化率为零，则说明此函数在此区间上的函数值都相等. （×）
（2）函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数值与 $ \Delta x $ 的正、负无关. （√）
（3）设 $ x = x_0 + \Delta x $，则 $ \Delta x = x - x_0 $，当 $ \Delta x $ 趋近于 0 时，$ x $ 趋近于 $ x_0 $，因此，$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $. （√）

答案： 1.
(1)× 提示：函数$f(x)= - 2x^{2}+1$在区间$[-1,1]$上的平均变化率为零，但是此函数在区间$[-1,1]$上的函数值不都相等.
(2)√
(3)√

2. 如图，已知函数 $ y = f(x) $ 的图象.

（1）函数 $ f(x) $ 在区间 $ [-1,1] $ 上的平均变化率为$\frac{1}{2}$；
（2）函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,2] $ 上的平均变化率为$\frac{3}{4}$.

答案： 2.
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{3}{4}$ 解析：
(1)函数$y = f(x)$在区间$[-1,1]$上的平均变化率为$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{2 - 1}{2}=\frac{1}{2}$.
(2)由函数$y = f(x)$的图象知，$f(x)=\begin{cases}\frac{x + 3}{2},-1\leqslant x\leqslant1,\\x + 1,1\lt x\leqslant3,\end{cases}$
所以函数$y = f(x)$在区间$[0,2]$上的平均变化率为$\frac{f(2)-f(0)}{2 - 0}=\frac{3-\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$.

3. 请思考并回答下列问题：
（1）$ \Delta x $，$ \Delta y $ 一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
（2）瞬时变化率的几何意义是什么？

答案： 3.
(1)提示：$\Delta x,\Delta y$可正可负，$\Delta y$也可以为零，但$\Delta x$不能为零.平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$可正，可负，可为零.
(2)提示：瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率.