《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

答案： 递推

（1）定义：数列$\{ a_n \}$从第 1 项起到第$n$项止的各项之和，称为数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和，记作 $ S_n $，即 $ S_n = $$a_1+a_2+·s+a_n$.
（2）前 $ n $ 项和公式：如果数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 与它的序号$n$之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前$n$项和公式.
（3）$ a_n $ 与 $ S_n $ 的关系：若数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则 $ a_n = $$\begin{cases} S_1,n=1, \\ S_n - S_{n - 1},n\geq2 \end{cases}$.

答案：
(1)$n \quad a_1+a_2+·s+a_n$
(2)序号$n$ 前$n$项和
(3)$\begin{cases} S_1,n=1, \\ S_n - S_{n - 1},n\geq2 \end{cases}$

【概念辨析】
1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）递推公式也是表示数列的一种方法. （√）
（2）已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 2 $，$ a_n = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} $（$ n \geq 2 $，且 $ n \in \mathbf{N}^* $），则 $ a_2 = \frac{3}{2} $. （√）
（3）设数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则 $ a_n = S_n - S_{n - 1} $. （×）

答案： 1.
(1)√
(2)√ 提示：因为$a_1 = 2,a_n = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}}(n\geq2$且$n\in N^*$)，所以$a_2 = 2 - \frac{1}{a_1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
(3)× 提示：当$n = 1$时，$a_1 = S_1$；当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1}$，所以$a_n = \begin{cases} S_1,n = 1, \\ S_n - S_{n - 1},n\geq2 \end{cases}$。

2. 若数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n = n^2 - 10n $，则 $ a_1 = $-9，$ a_2 = $-7.

答案： 2.-9 -7 解析：因为$S_n = n^2 - 10n$，所以$a_1 = S_1 = 1^2 - 10×1 = -9,a_2 = S_2 - S_1 = 2^2 - 10×2 - (-9) = -7$。

3. 请思考并回答下列问题：
（1）所有数列都有递推公式吗？
（2）仅由数列$\{ a_n \}$满足的递推公式 $ a_{n + 1} = 2a_n $（$ n \in \mathbf{N}^* $）能否确定这个数列？若已知 $ a_1 = 1 $ 呢？

答案： 3.
(1)提示：不一定.例如，$\sqrt{2}$精确到$1,0.1,0.01,0.001,·s$的不足近似值组成的数列：$1,1.4,1.41,1.414,·s$没有递推公式.
(2)提示：仅由数列$\{ a_n \}$满足的递推公式$a_{n + 1} = 2a_n(n\in N^*)$只能得出相邻两项的关系，无法确定这个数列.若已知$a_1 = 1$，则可以确定这个数列为$1,2,4,8,·s$.

1. 已知数列$\{ a_n \}$的通项公式为 $ a_n = n^2 - 7n - 8 $.
(1)数列中为负数的项的个数是7；
(2)该数列的最小项为-20.

答案： 1.
(1)7
(2)-20 解析：
(1)令$a_n ＜ 0$，即$n^2 - 7n - 8 ＜ 0$，得$-1 ＜ n ＜ 8$。
又$n\in N^*$，所以$n$的值为$1,2,3,·s,7$，所以数列从第$1$项至第$7$项均为负数，共$7$项.
(2)(方法一)$a_n = n^2 - 7n - 8$是关于$n$的二次函数，图
象的对称轴方程为$n = \frac{7}{2} = 3.5$，
所以当$1\leq n\leq3$时，$\{ a_n \}$递减；
当$n\geq4$时，$\{ a_n \}$递增.
所以当$n = 3$或$n = 4$时，$a_n$最小，即$a_3,a_4$是数列中的最小项，且$a_3 = a_4 = -20$。
(方法二)设$a_n(n\geq2)$为数列$\{ a_n \}$中的最小项.
则$\begin{cases} a_n\leq a_{n - 1}, \\ a_n\leq a_{n + 1}, \end{cases}$
即$\begin{cases} n^2 - 7n - 8\leq(n - 1)^2 - 7(n - 1) - 8, \\ n^2 - 7n - 8\leq(n + 1)^2 - 7(n + 1) - 8, \end{cases}$
解得$3\leq n\leq4$。
又因为$n\in N^*$，所以当$n = 3$或$n = 4$时，$a_n$最小，即$a_3,a_4$是数列中的最小项，且$a_3 = a_4 = -20$。

2. 已知数列$\{ a_n \}$的通项公式为 $ a_n = 3n^2 - 28n $.
(1)求这个数列的第 4 项和第 6 项.
(2)$-49$ 是该数列的第几项？
(3)68 是该数列的项吗？

答案： 2.解：
(1)根据$a_n = 3n^2 - 28n$，
得$a_4 = 3×4^2 - 28×4 = -64$，
$a_6 = 3×6^2 - 28×6 = -60$。
(2)令$3n^2 - 28n = -49$，
即$3n^2 - 28n + 49 = 0$，解得$n = 7$或$n = \frac{7}{3}$(舍).
所以$-49$是该数列的第$7$项.
(3)令$3n^2 - 28n = 68$，即$3n^2 - 28n - 68 = 0$，
解得$n = -2$或$n = \frac{34}{3}$，均不是正整数，
所以$68$不是数列$\{ a_n \}$中的项.