《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

思考3. 若将本例中数列 $ \{ a_n \} $ 满足的条件变为“$ a_1 = -2 $，$ a_{n + 1} = 2a_n + 3 $”，试利用此条件构造一个等比数列，进而求出数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式.

答案： 思考3.解:因为$a_{n+1}=2a_n+3$，所以$a_{n+1}+3=2a_n+6=2(a_n+3)$.因为$a_1=-2$，所以$a_1+3=1$，所以$a_n+3 \neq 0$.所以$\frac{a_{n+1}+3}{a_n+3}=2$，所以$\{a_n+3\}$是以1为首项，2为公比的等比数列.所以$a_n+3=1 × 2^{n-1}$，所以$a_n=2^{n-1}-3$.

数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，且 $ S_n = 2 (a_n - 1) $.
(1) 求证：数列 $ \{ a_n \} $ 为等比数列；
(2) 求数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式.

答案：
(1)证明:因为$S_n=2(a_n-1)$①，所以当$n \geqslant 2$时，$S_{n-1}=2(a_{n-1}-1)$②.①-②，得$a_n=2a_n-2a_{n-1}$，即$a_n=2a_{n-1}$③.又当$n=1$时，$a_1=2(a_1-1)$，即$a_1=2 \neq 0$，所以$a_n \neq 0$.由③可得$\frac{a_n}{a_{n-1}}=2(n \geqslant 2)$，则数列$\{a_n\}$为以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)解:由
(1)知$a_n=2^n$.

例2 (1) 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 $ 2 KB $，然后每 $ 3 min $ 自动复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后45$ min $，该病毒占据内存 $ 64 MB $.（$ 1 MB = 2^{10} KB $）
(2) 某渔场养鱼，第一年鱼的产量增长率为 $ 200\% $，以后每年的产量增长率都是上一年增长率的一半.
① 当饲养五年后，鱼的产量预计是原来的多少倍？
② 如果由于某种原因，每年的损失是预计产量的 $ 10\% $，那么经过多少年后，鱼的产量开始减少？
(2)解:①设鱼原来的产量为$a$，$n$年后鱼的产量为$a_n$，则$a_1=a × (1+2)=3a$，$a_2=3a × (1+1)=6a$，$a_3=6a × (1+\frac{1}{2})=9a$，$a_4=9a × (1+\frac{1}{4})=\frac{45}{4}a$，$a_5=\frac{45}{4}a × (1+\frac{1}{8})=\frac{405}{32}a$.所以，五年后鱼的产量是原来的$\frac{405}{32}=12\frac{21}{32}$倍. ②设$n$年后鱼的实际产量为$b_n$，则$b_{n+1}=b_n(1+\frac{1}{2^{n-1}}) × \frac{9}{10}$.由$b_n＞b_{n+1}$，得$1＞(1+\frac{1}{2^{n-1}}) × \frac{9}{10}$即$2^{n-1}＞9$，解得$n \geqslant 5$.因此，从第五年开始，鱼的产量开始减少.

答案： 例2
(1)45 解析:$3 \min$后占据内存$2^2 KB$，两个$3 \min$后占据内存$2^3 KB$，三个$3 \min$后占据内存$2^4 KB$，$·s$，$n$个$3 \min$后占据内存为$2^{n+1} KB$.令$2^{n+1}=64 × 2^{10}=2^{16}$，得$n=15$.又$15 × 3=45(\min)$，故开机后$45 \min$，该病毒占据内存$64 MB$.
(2)解:①设鱼原来的产量为$a$，$n$年后鱼的产量为$a_n$，则$a_1=a × (1+2)=3a$，$a_2=3a × (1+1)=6a$，$a_3=6a × (1+\frac{1}{2})=9a$，$a_4=9a × (1+\frac{1}{4})=\frac{45}{4}a$，$a_5=\frac{45}{4}a × (1+\frac{1}{8})=\frac{405}{32}a$.所以，五年后鱼的产量是原来的$\frac{405}{32}=12\frac{21}{32}$倍. ②设$n$年后鱼的实际产量为$b_n$，则$b_{n+1}=b_n(1+\frac{1}{2^{n-1}}) × \frac{9}{10}$.由$b_n＞b_{n+1}$，得$1＞(1+\frac{1}{2^{n-1}}) × \frac{9}{10}$即$2^{n-1}＞9$，解得$n \geqslant 5$.因此，从第五年开始，鱼的产量开始减少.