《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 1 （1）已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_n a_{n + 1} = 1 - a_{n + 1} $（$ n \in \mathbf{N}^* $）且 $ a_{2024} = 2 $，则 $ a_{2023} $ 等于（C）已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 1 $，$ a_n = 3a_{n - 1} + \frac{(-1)^n}{2} $（$ n \in \mathbf{N}^* $，且 $ n \geq 2 $），写出数列$\{ a_n \}$的前 5 项.

答案： 例1
(1)C 解析：易知$a_{n + 1}\neq0$.由$a_n a_{n + 1} = 1 - a_{n + 1}$，得$a_n = \frac{1}{a_{n + 1}} - 1$.又因为$a_{2024} = 2$，所以$a_{2023} = \frac{1}{2}$。
故选C.
(2)解：由题意，得$a_2 = 3a_1 + \frac{(-1)^2}{2}$，
又$a_1 = 1$，所以$a_2 = 3×1 + \frac{(-1)^2}{2} = \frac{7}{2}$。
同理，$a_3 = 3a_2 + \frac{(-1)^3}{2} = 10$，
$a_4 = 3a_3 + \frac{(-1)^4}{2} = \frac{61}{2}$，
$a_5 = 3a_4 + \frac{(-1)^5}{2} = 91$。

1. 已知在数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = -\frac{1}{4} $，$ a_n = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} $($ n ＞ 1 $)，则 $ a_{100} = $(B)
A.5
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： 1.B 解析：因为$a_1 = \frac{1}{4},a_n = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}(n ＞ 1)$，所以$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{\frac{1}{4}} = -3$（原解析此处计算跳步，按公式应为$1-\frac{1}{\frac{1}{4}}=1 - 4=-3$，原解析$a_2$计算结果$5$有误，按照整体逻辑继续），$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2}=1-\frac{1}{-3}=\frac{4}{3},a_4 = 1 - \frac{1}{a_3}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$·s$，可知数列$\{ a_n \}$是以$3$为周期的周期数列.因为$100 = 33×3 + 1$，所以$a_{100} = a_1 = \frac{1}{4}$.故选B.

2. 已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 0 $，$ a_{n + 1} = \frac{a_n - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n + 1} $($ n \in \mathbf{N}^* $)，则 $ a_{20} = $(B)
A.0
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 2.B 解析：因为$a_1 = 0,a_{n + 1} = \frac{a_n - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n + 1}$，所以$a_2 = \frac{a_1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_1 + 1} = -\sqrt{3},a_3 = \frac{a_2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_2 + 1} = \sqrt{3},a_4 = \frac{a_3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_3 + 1} = 0,·s$，
所以数列$\{ a_n \}$的各项依次为$0,-\sqrt{3},\sqrt{3},0,-\sqrt{3},\sqrt{3},0,·s$，周期为$3$.
因为$20 = 6×3 + 2$，所以$a_{20} = a_2 = -\sqrt{3}$.故选B.

3. 在数列$\{ a_n \}$中，若 $ a_1 = 10 $，$ a_n \in \mathbf{N}^* $，且 $ a_{n + 1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2}, a_n 是偶数, \\ a_n + 3, a_n 是奇数 \end{cases} $($ n = 1, 2, 3, ·s $)，写出数列$\{ a_n \}$的前 5 项.

答案： 3.解：由题意得，$a_1 = 10,a_2 = \frac{a_1}{2} = 5,a_3 = a_2 + 3 = 8$，
$a_4 = \frac{a_3}{2} = 4,a_5 = a_4 + 3 = 7,a_6 = \frac{a_5}{2} = 2$。