《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

写出下列数列的一个通项公式：
(1) $3,5,9,17,33,·s$；
(2) $11,102,1003,10004,·s$；
(3) $1\frac{1}{2},2\frac{4}{5},3\frac{9}{10},4\frac{16}{17},·s$；
(4) $2,-6,12,-20,30,-42,·s$.

答案： 解:
(1)因为$3 = 2^1 + 1$,$5 = 2^2 + 1$,$9 = 2^3 + 1$,$17 = 2^4 + 1$,$33 = 2^5 + 1$,...，所以该数列的一个通项公式为$a_n = 2^n + 1$.
(2)这个数列可以改写为$10 + 1$，$100 + 2$，$1000 + 3$，$10000 + 4$,...，所以该数列的一个通项公式是$a_n = 10^n + n$.
(3)因为$1\frac{1}{2}=1+\frac{1^2}{1^2 + 1}$,$2\frac{4}{5}=2+\frac{2^2}{2^2 + 1}$,$3\frac{9}{10}=3+\frac{3^2}{3^2 + 1}$,$4\frac{16}{17}=4+\frac{4^2}{4^2 + 1}$,...，所以该数列的一个通项公式为$a_n=n+\frac{n^2}{n^2 + 1}$.
(4)将数列变形为$1×2$,$-2×3$,$3×4$,$-4×5$,$5×6$,$-6×7$,...，所以该数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^{n + 1}n(n + 1)$.

例2 (1) 数列$\left\{\frac{2n}{3n + 1}\right\}$是（ ）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 摆动数列
D. 常数列
(2) 在数列$\{a_n\}$中，$a_n = n^2 - 8n$.
① 画出$\{a_n\}$的图象；
② 根据图象写出数列$\{a_n\}$的单调性.

答案：
例2　
(1)A　解析:在数列$\{\frac{2n}{3n + 1}\}$中，设$a_n=\frac{2n}{3n + 1}$，则$a_{n + 1}-a_n=\frac{2n + 2}{3n + 4}-\frac{2n}{3n + 1}=\frac{2}{(3n + 1)(3n + 4)}＞0$，所以$a_n ＜ a_{n + 1}$，所以数列$\{\frac{2n}{3n + 1}\}$是递增数列.
(2)解:①列表:
$n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ ...
$a_n$ $-7$ $-12$ $-15$ $-16$ $-15$ $-12$ $-7$ $0$ $9$ ...
描点，画出$\{a_n\}$的图象如图所示.

②数列$\{a_n\}$在$n = 1,2,3,4$时是递减的，在$n = 4,5,6,7,...$时是递增的.