《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在公差不为$0$的等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}$，$a_{7}$，$a_{m}$是公比为$2$的等比数列，则$m=$(15)
A.$11$
B.$13$
C.$15$
D.$17$

答案： 1.C 解析：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,则$d \neq 0$.
因为$a_3,a_7,a_m$是公比为2的等比数列,
所以$\frac{a_1 + 6d}{a_1 + 2d} = 2$①,
$\frac{a_1 + (m - 1)d}{a_1 + 6d} = 2$②.
由①得$a_1 = 2d$,代入②,解得$m = 15$.
故选C.

2. 从集合$\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$中任意选出三个不同的数，使得这三个数成等比数列，则这样的等比数列的个数是(8)
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$16$

答案： 2.A 解析：当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为$\frac{3}{2}$时,等比数列可为4,6,9.同时,以上数列反向排列也是等比数列.综上,共8个等比数列.故选A.

3. 下列数列一定是等比数列的是(D)
A.$m$，$m^{2}$，$m^{3}$，$m^{4}$，$·s$
B.$2^{2}$，$4^{2}$，$6^{2}$，$8^{2}$，$·s$
C.$q - 1$，$(q - 1)^{2}$，$(q - 1)^{3}$，$(q - 1)^{4}$，$·s$
D.$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a^{2}}$，$\frac{1}{a^{3}}$，$\frac{1}{a^{4}}$，$·s$

答案： 3.D 解析：当$m = 0,q = 1$时,A,C均不是等比数列;
$\frac{6^2}{4^2} \neq \frac{4^2}{2^2}$,所以B不是等比数列.故选D.

4. 下列数列是等比数列的有②③⑤.(填序号)
①$1$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{12}$，$·s$；
②$10$，$10$，$10$，$10$，$10$，$·s$；
③$\frac{2}{3}$，$(\frac{2}{3})^{2}$，$(\frac{2}{3})^{3}$，$(\frac{2}{3})^{4}$，$·s$；
④$1$，$0$，$1$，$0$，$1$，$0$，$·s$；
⑤$1$，$-4$，$16$，$-64$，$256$，$·s$.

答案： 4.②③⑤ 解析：①中$\frac{3}{1} \neq \frac{6}{\frac{1}{3}}$,故不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为$\frac{2}{3}$;④中有数0,故不是等比数列;⑤是等比数列,公比为-4.

例1 （1）在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，公比$q\neq\pm1$.若$a_{m}=a_{2}a_{3}$，则$m$等于（C）若数列$-1$，$a$，$b$，$c$，$-9$为等比数列，则实数$b$的值为（A）已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列.
①若$a_{2}=4$，$a_{5}=-\frac{1}{2}$，求$a_{n}$；
②若$a_{2}+a_{5}=18$，$a_{3}+a_{6}=9$，$a_{n}=1$，求$n$.

答案： 例1
(1)C 解析：由$a_m = a_2a_3$,得$a_1q^{m - 1} = a_1q · a_1q^2$.
因为$a_1 = 1$,所以$q^{m - 1} = q^3$.
又因为$q \neq \pm 1,q \neq 0$,所以$m - 1 = 3$,解得$m = 4$.故选C.
(2)A 解析：因为-1,$a$,$b$,$c$,-9成等比数列,
所以-1,$a$,$b$成等比数列,$a$,$b$,$c$成等比数列,$b$,$c$,-9成等比数列.
所以$a^2 = -b$,$b^2 = ac$,$c^2 = -9b$.
所以$b^4 = a^2c^2 = (-1) × (-9)b^2$,所以$b^2 = 9$.
又$a^2 = -b ＞ 0$,所以$b ＜ 0$.所以$b = -3$.故选A.
(3)解：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$.
①根据题意,可知$\begin{cases} a_2 = a_1q = 4, \\ a_5 = a_1q^4 = -\frac{1}{2}, \end{cases}$
所以$\begin{cases} q = -\frac{1}{2}, \\ a_1 = -8. \end{cases}$
所以$a_n = a_1q^{n - 1} = -8 × (-\frac{1}{2})^{n - 1} = (-2)^{4 - n}$.
②因为$a_3 + a_6 = (a_2 + a_5)q$,
即$9 = 18q$,所以$q = \frac{1}{2}$.
由$a_1q + a_1q^4 = 18$,得$a_1 = 32$.
由$a_n = a_1q^{n - 1} = 1$,得$n = 6$.