《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. (1) 若$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$分别是公差为$d_{1}$，$d_{2}$的等差数列，则数列$\{ pa_{n}+qb_{n}\}$（$p$，$q\in \mathbf{R}$）是公差为$pd_1 + qd_2$的等差数列.
(2) 若$\{ a_{n}\}$是公差为$d$的等差数列，则$a_{k}$，$a_{k+m}$，$a_{k+2m}$，$·s$（$k$，$m\in \mathbf{N}^{*}$）是公差为$md$的等差数列.

答案： 1.
(1)$pd_1 + qd_2$
(2)$md$

2. (1) 等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n - 1}=a_{3}+a_{n - 2}=·s$.
(2) 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = p + q$（$m$，$n$，$p$，$q\in \mathbf{N}^{*}$），则$a_m + a_n = a_p + a_q$. 特别地，若$m + n = 2k$（$m$，$n$，$k\in \mathbf{N}^{*}$），则$a_m + a_n = 2a_k$.

答案： 2.
(2)$a_m + a_n = a_p + a_q$ $a_m + a_n = 2a_k$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$，则$m + n = p + q$. （×）
(2) 若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则数列$\{ 2a_{n}+n\}$也是等差数列. （√）
(3) 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n + p = 3t$（$m$，$n$，$p$，$t\in \mathbf{N}^{*}$），则$a_{m}+a_{n}+a_{p}=3a_{t}$. （√）

答案： 1.
(1)$×$
(2)$\surd$ 提示:设$\{a_n\}$的公差为$d(d$为常数),则$2a_{n + 1} + (n + 1) - (2a_n + n) = 2(a_{n + 1} - a_n) + 1 = 2d + 1$,为常数,因此$\{2a_n + n\}$是等差数列.
(3)$\surd$

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$，$a_{7}+a_{19}=19$，$a_{9}=1$，则$a_{17}$等于（18）
A.$20$
B.$18$
C.$15$
D.$17$

答案： 2.B 解析:因为$a_7 + a_19 = a_9 + a_17 = 19$,且$a_9 = 1$,所以$a_17 = 19 - a_9 = 18$.

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 已知等差数列中任意两项，是否可以直接求公差？
(2) 已知等差数列$\{ a_{n}\}$，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是否为等差数列？若取偶数项呢？
(3) 若数列$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$·s$和$a_{2}$，$a_{4}$，$a_{6}$，$·s$都是公差为$d$的等差数列，则$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$·s$是否为等差数列？

答案： 3.
(1)提示:可以.因为等差数列$\{a_n\}$的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点,任选其中两点$(n,a_n)$,$(m,a_m)(m \neq n)$,类比直线的斜率公式,可知公差$d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$.
(2)提示:设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,其奇数项为$a_1,a_3,a_5,·s$,是公差为$2d$的等差数列.同样,偶数项也是公差为$2d$的等差数列.从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.
(3)提示:不一定.例如:$1,2,3,·s$和$10,11,12,·s$都是公差为$1$的等差数列,但是$1,10,2,11,3,12,·s$不是等差数列.