《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

（1）在曲线 $ y = f(x) $ 上任取一点 $ P(x, f(x)) $，如果当点 $ P(x, f(x)) $ 沿着曲线 $ y = f(x) $ 无限趋近于点 $ P_0(x_0, f(x_0)) $ 时，割线 $ P_0P $ 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 $ P_0T $ 称为曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ P_0 $ 处的切线.

答案： （1）一个确定的位置 切线

当 $ x $ 变化时，$ y = f'(x) $ 就是 $ x $ 的函数，我们称它为 $ y = f(x) $ 的导函数（简称导数）. $ y = f(x) $ 的导函数有时也记作 $ y' $，即 $ f'(x) = y' = \lim_{\Delta x \to 0} $$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

答案： $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）函数在 $ x = x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) $ 是一个常数. （√）
（2）函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数值就是曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的切线的斜率. （√）
（3）直线与曲线相切，则直线与曲线只有一个公共点. （×）

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)× 提示：直线与曲线相切，则直线与曲线除了切点之外，可能还有其他公共点.

2. 曲线 $ y = 3x^2 - 4x $ 在点 $ (1, -1) $ 处的切线的方程为$y = 2x - 3$.

答案： 2.$y = 2x - 3$ 解析：令$y = f(x) = 3x^{2} - 4x$，则$k = f^{\prime}(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(1 + \Delta x)^{2} - 4(1 + \Delta x) - (3 × 1^{2} - 4 × 1)}{\Delta x} = 2$.
所以切线方程为$y + 1 = 2(x - 1)$，即$y = 2x - 3$.

3. 请思考并回答下列问题：
（1）若 $ f'(x_0) ＞ 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的切线的倾斜角为锐角；若 $ f'(x_0) ＜ 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的切线的倾斜角为钝角；若 $ f'(x_0) = 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的切线与 $ x $ 轴平行或重合，这种说法正确吗？
（2）函数 $ y = f(x) $ 的部分图象如图所示，根据导数的几何意义，你能比较 $ f'(x_1) $，$ f'(x_2) $ 和 $ f'(x_3) $ 的大小吗？

答案： 3.
(1)提示：由导数的几何意义以及直线倾斜角的正切值的符号与角度的关系知此说法正确.
(2)提示：易知图象在点$A$，$B$处的切线斜率大于零且$k_{A} ＞ k_{B}$，在点$C$处的切线斜率小于零，根据导数的几何意义，可得$f^{\prime}(x_{1}) ＞ f^{\prime}(x_{2}) ＞ f^{\prime}(x_{3})$.