《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例1 讨论下列函数的单调性.
（1）$ f(x) = -\frac{1}{3}ax^3 + x^2 + 1(a\leqslant0) $；
（2）$ f(x) = \ln x - ax^2 + (2 - a)x $.

答案： 例1 解：
(1)①当$a=0$时，$f(x)=x^{2}+1$，其在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增.
②当$a＜0$时，$f^{\prime}(x)=-ax^{2}+2x$.
令$f^{\prime}(x)＞0$，即$(-ax + 2)x＞0$，则$\left(x - \frac{2}{a}\right)x＞0$，解得$x＞0$或$x＜\frac{2}{a}$；
令$f^{\prime}(x)＜0$，即$(-ax + 2)x＜0$，则$\left(x - \frac{2}{a}\right)x＜0$，解得$\frac{2}{a}＜x＜0$.
故$f(x)$在$\left(-\infty,\frac{2}{a}\right)$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$\left(\frac{2}{a},0\right)$上单调递减.
综上所述，当$a=0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,0)$上单调递减；当$a＜0$时，$f(x)$在$\left(-\infty,\frac{2}{a}\right)$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$\left(\frac{2}{a},0\right)$上单调递减.
(2)$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2ax + 2 - a=\frac{-(2x + 1)(ax - 1)}{x}$.
①若$a \leqslant 0$，则$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
②若$a＞0$，由$f^{\prime}(x)=0$得$x=\frac{1}{a}$，则当$x \in \left(0,\frac{1}{a}\right)$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$x \in \left(\frac{1}{a},+\infty\right)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{a}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递减.

（2024·全国甲卷节选）已知函数 $ f(x) = a(x - 1) - \ln x + 1 $，求 $ f(x) $ 的单调区间.

答案： 解：$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=a - \frac{1}{x}=\frac{ax - 1}{x}$.当$a \leqslant 0$时，$f^{\prime}(x)=\frac{ax - 1}{x}＜0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减；当$a＞0$时，令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x=\frac{1}{a}$.
当$x \in \left(\frac{1}{a},+\infty\right)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增，当$x \in \left(0,\frac{1}{a}\right)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，$f(x)$单调递减.综上所述，当$a \leqslant 0$时，$f(x)$的单调递减区间为$(0,+\infty)$，无单调递增区间；当$a＞0$时，$f(x)$的单调递增区间为$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$，单调递减区间为$\left(0,\frac{1}{a}\right)$.

例2 （1）已知函数 $ f(x) = x^3 - ax - 1 $ 为 $ \mathbf{R} $ 上的增函数，则实数 $ a $ 的取值范围是$(-\infty,0]$.

答案： 例2
(1)$(-\infty,0$ 解析：由已知得$f^{\prime}(x)=3x^{2}-a$，
因为$f(x)$为$\mathbf{R}$上的增函数，
所以$f^{\prime}(x)=3x^{2}-a \geqslant 0$在$\mathbf{R}$上恒成立，
即$a \leqslant 3x^{2}$对任意$x \in \mathbf{R}$恒成立.因为$3x^{2} \geqslant 0$，所以只需$a \leqslant 0$.
又因为当$a=0$时，$f^{\prime}(x)=3x^{2} \geqslant 0$，$f(x)=x^{3}-1$在$\mathbf{R}$上是增函数，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,0$.

（2）已知函数 $ f(x) = 2x^2 - \ln x $，若 $ f(x) $ 在区间 $ (2m,m + 1) $ 上单调递增，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案：
(2)解：$f(x)=2x^{2}-\ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，对$f(x)$求导数，得$f^{\prime}(x)=4x - \frac{1}{x}$.令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，或$x=-\frac{1}{2}$(舍)，当$x＞\frac{1}{2}$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$在区间$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$上单调递增.
因为$f(x)$在区间$(2m,m + 1)$上单调递增，所以$(2m,m + 1) \subseteq \left(\frac{1}{2},+\infty\right)$.
所以$\begin{cases}m + 1＞2m, \\2m \geqslant \frac{1}{2},\end{cases}$解得$\frac{1}{4} \leqslant m＜1$.
因此，实数$m$的取值范围是$\left\frac{1}{4},1\right)$.