《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 已知$a$和$2b$的等差中项是$5$，$3a$和$4b$的等差中项是$7$，求$2a$和$3b$的等差中项.

答案： 1.解：因为$a$和$2b$的等差中项是5，所以$a + 2b = 10$①.
又因为$3a$和$4b$的等差中项是7，所以$3a + 4b = 14$②.
由①②解得$\begin{cases}a = -6,\\b = 8.\end{cases}$
所以$2a$和$3b$的等差中项为$\frac{2×(-6)+3×8}{2}=6$.

2. 已知数列$\{ x_{n}\}$的首项为$x_{1}=3$，通项公式为$x_{n}=2^{n}p + nq(n\in \mathbf{N}^{*}$，$p$，$q$为常数)，且$x_{1}$，$x_{4}$，$x_{5}$成等差数列.求$p$，$q$的值.

答案： 2.解：由$x_1 = 3$，得$2p + q = 3$①.
又$x_4 = 2^4p + 4q = 16p + 4q$，$x_5 = 2^5p + 5q = 32p + 5q$，且$x_1 + x_5 = 2x_4$，
所以$3 + 32p + 5q = 32p + 8q$，解得$q = 1$②.
将②代入①，得$p = 1$.
故$p = 1,q = 1$.