《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 用数学归纳法证明 $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2^n - 1} ＜ n(n \in \mathbf{N}^*,n ＞ 1) $ 时，第一步应验证不等式（C）
A.$ 1 + \frac{1}{2} ＜ 2 $
B.$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 3 $
C.$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 2 $
D.$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ＜ 3 $

答案： 1.C 解析：用数学归纳法证明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+⋯+$\frac{1}{2^{n}-1}$＜n(n∈N∗,n＞1)，第一步先验证当n=2时，不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2是否成立.故选C.

2. 已知 $ f(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2^n}(n \in \mathbf{N}^*) $，从 $ n = k $ 到 $ n = k + 1 $ 时，$ f(k + 1) $ 比 $ f(k) $ 共增加了（D）
A.1 项
B.$ 2^{k - 1} $ 项
C.$ 2^{k + 1} $ 项
D.$ 2^k $ 项

答案： 2.D 解析：由题意，当n=k(k∈N∗)时，最后一项为$\frac{1}{2^{k}}$，当n=k+1时，最后一项为$\frac{1}{2^{k+1}}$=$\frac{1}{2^{k}×2}$=$\frac{1}{2^{k}+2^{k}}$，所以由n=k到n=k+1时，增加的项为$\frac{1}{2^{k}+1}$+$\frac{1}{2^{k}+2}$+⋯+$\frac{1}{2^{k}+2^{k}}$，增加了2^{k}项.故选D.

例 1 （1）用数学归纳法证明：$ 1 + 3 × 2 + 5 × 2^2 + ·s + (2n - 1) × 2^{n - 1} = 2^n(2n - 3) + 3(n \in \mathbf{N}^*) $.
（2）用数学归纳法证明：$ \left(1 - \frac{1}{3}\right) × \left(1 - \frac{1}{4}\right) × \left(1 - \frac{1}{5}\right) × ·s × \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right) = \frac{2}{n + 2}(n \in \mathbf{N}^*) $.

答案： 例1 证明：
(1)①当n=1时，左边=1，右边=2×(2 - 3)+3=1，左边=右边，等式成立.
②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即1+3×2+5×2²+⋯+(2k - 1)×2^{k - 1}=2^{k}(2k - 3)+3，
则当n=k+1时，1+3×2+5×2²+⋯+(2k - 1)×2^{k - 1}+(2k+1)×2^{k}=2^{k}(2k - 3)+3+3+(2k+1)×2^{k}=2^{k}(4k - 2)=2^{k + 1}[2(k+1) - 3]+3，
即当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，等式对任何n∈N∗都成立.
(2)①当n=1时，左边=1 - $\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
右边=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，等式成立.
②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，
即$(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})×⋯×(1-\frac{1}{k + 2})$=$\frac{2}{k + 2}$，
则当n=k+1时，
$(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})×⋯×(1-\frac{1}{k + 2})×(1-\frac{1}{k + 3})$=$\frac{2}{k + 2}×(1-\frac{1}{k + 3})$=$\frac{2(k + 2)}{(k + 2)(k + 3)}$=$\frac{2}{k + 3}$
=$\frac{2}{(k + 1)+2}$，
即当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，等式对任何n∈N∗都成立.