《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

答案： 第2项 前一项 同一个常数 公比 $q$ $ab$

（1）首项为$a_{1}$，公比为$q$的等比数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=$$a_1q^{n-1}$.
（2）第$n$项与第$m$项的关系为$a_{n}=$$a_mq^{n-m}$，变形得$q^{n - m}=$$\frac{a_n}{a_m}$.
（3）由$a_{n}=\frac{a_{1}}{q}· q^{n}$可知，当$q＞0$且$q\neq1$时，等比数列$\{ a_{n}\}$的第$n$项$a_{n}$是函数$f(x)=\frac{a_{1}}{q}· q^{x}(x\in\mathbf{R})$当$x = n$时的函数值，即$a_{n}=f(n)$.

答案：
(1)$a_1q^{n-1}$
(2)$a_mq^{n-m}$ $\frac{a_n}{a_m}$

1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)等比数列中不存在数值为$0$的项.(√)
(2)常数列$a$，$a$，$a$，$a$，$·s$一定是等比数列.(×)
(3)若$a_{n}=\begin{cases}3,n = 1,\\2^{n - 1},n\geq2,\end{cases}$则数列$\{ a_{n}\}$是等比数列.(×)
(4)任何两个实数都有等比中项.(×)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)× 提示：第2项与第1项的比是$\frac{2}{3}$,从第3项开始每一项与前一项的比都是2,不符合等比数列的定义.
(4)×

2. 已知$1$，$\sqrt{2}$，$2$，$·s$为等比数列，当$a_{n}=8\sqrt{2}$时，正整数$n=$(8)
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案： 2.C 解析：由题意知首项$a_1 = 1$,公比$q = \sqrt{2}$,$a_n = 8\sqrt{2} = (\sqrt{2})^7$,故$n - 1 = 7$,即$n = 8$.故选C.

3. 请思考并回答下列问题：
(1)有既是等差数列又是等比数列的数列吗？若有，是什么数列？
(2)等比数列的公比可以是任意实数吗？
(3)若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=2a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$，那么$\{ a_{n}\}$是等比数列吗？
(4)已知数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，若$a_{1}=2$，$a_{5}=8$，则$a_{3}=\pm4$是否正确？

答案： 3.
(1)提示：有.非零常数列既是等差数列又是等比数列.
(2)提示：不可以.等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
(3)提示：不一定.当$a_1 = 0$时,按所给递推关系式,该数列为常数列,且常数为0,此时$\{a_n\}$不是等比数列.
(4)提示：不正确.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,则可得$q^4 = \frac{a_5}{a_1} = 4$,解得$q^2 = 2$,所以$a_3 = a_1q^2 = 2 × 2 = 4$.