《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

$S_{n}=$$\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$$=$____$na_{1}+\frac{n(n - 1)d}{2}$.

答案： $\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ $na_{1}+\frac{n(n - 1)d}{2}$

（1）若数列$\{ a_{n}\}$是公差为$d$的等差数列，$S_{n}$为其前$n$项和，则数列$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$也是等差数列，且公差为$\frac{d}{2}$.
（2）设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，$S_{n}$为其前$n$项和，则$S_{m}$，$S_{2m}-S_{m}$，$S_{3m}-S_{2m}$，$·s$（$m\in \mathbf{N}^{*}$）仍构成等差数列，且公差为$m^{2}d$.
（3）设两个等差数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，则$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{S_{2n - 1}}{T_{2n - 1}}$.

答案： （1）$\frac{d}{2}$ （2）$m^{2}d$

1. 判断正误（正确的打“$\surd$”，错误的打“$×$”）.
（1）等差数列的前$n$项和等于其首项与第$n$项的等差中项的$n$倍. （√）
（2）等差数列的前$n$项和$S_{n}$一定是关于$n$的二次函数. （×）
（3）若等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{6}$，$S_{12}$，$S_{18}$也成等差数列. （×）

答案： 1.（1）√ 提示:根据等差数列的前n项和公式$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$可知，此说法正确。
（2）× （3）×

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{30}=30$，则前$30$项的和$S_{30}$的值为（B）
A.456
B.465
C.930
D.654

答案： 2.B 解析:$S_{30}=\frac{30×(a_{1}+a_{30})}{2}=\frac{30×(1 + 30)}{2}=465$.故选B.

3. 请思考并回答下列问题：
（1）由$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$如何推出$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$？
（2）等差数列的前$n$项和的两个公式分别适用于什么情况？

答案： 3.（1）提示:把$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$代入$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$中，就可以得到$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$.
（2）提示:若已知等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项$a_{1}$、末项$a_{n}$及项数$n$，则用公式$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$来求和，其中$\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$是$a_{1}$与$a_{n}$的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质.若已知等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项$a_{1}$、公差$d$及项数$n$，则用公式$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$来求和.