《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$.
(1)若$a_{3}=9$，$a_{6}=243$，求$a_{5}$；
(2)若$a_{1}=\frac{9}{8}$，$a_{n}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{2}{3}$，求$n$；
(3)若$a_{3}+a_{6}=36$，$a_{4}+a_{7}=18$，$a_{n}=\frac{1}{2}$，求$n$.

答案： 1.解：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$.
(1)因为$a_6 = a_3q^3$,即$243 = 9 · q^3$,
所以$q^3 = 27$,所以$q = 3$.
所以$a_5 = a_6 × \frac{1}{3} = 81$.
(2)因为$a_n = a_1q^{n - 1}$,
所以$\frac{1}{3} = \frac{9}{8} × (\frac{2}{3})^{n - 1}$,所以$(\frac{2}{3})^{n - 1} = (\frac{2}{3})^3$,
所以$n = 4$.
(3)(方法一)因为$a_3 + a_6 = 36$,$a_4 + a_7 = 18$,
所以$\begin{cases} a_1q^2 + a_1q^5 = 36, \\ a_1q^3 + a_1q^6 = 18. \end{cases}$
②÷①得$q = \frac{1}{2}$,代入①得$a_1 = 128$.
而$a_n = a_1q^{n - 1}$,所以$\frac{1}{2} = 128 × (\frac{1}{2})^{n - 1}$,
所以$n = 9$.
(方法二)$q = \frac{a_4 + a_7}{a_3 + a_6} = \frac{1}{2}$,
$a_3 + a_6 = a_3 + a_3 · q^3 = a_3(1 + q^3) = 36$,
所以$a_3 = \frac{36}{1 + q^3} = 32$.
因为$a_n = a_3q^{n - 3}$,
所以$\frac{1}{2} = 32 × (\frac{1}{2})^{n - 3}$,
所以$n = 9$.

2. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前三项和为$168$，$a_{2}-a_{5}=42$，求$a_{5}$，$a_{7}$的等比中项.

答案： 2.解：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$.
由已知得$\begin{cases} a_1 + a_1q + a_1q^2 = 168, \\ a_1q - a_1q^4 = 42, \end{cases}$
整理得$\begin{cases} a_1(1 + q + q^2) = 168, \\ a_1q(1 - q^3) = 42. \end{cases}$
②÷①得$q(1 - q) = \frac{1}{4}$,所以$q = \frac{1}{2}$.
所以$a_1 = \frac{42}{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^4} = 96$.
设$G$是$a_5,a_7$的等比中项,
则应有$G^2 = a_5a_7 = a_1q^4 · a_1q^6 = a_1^2 · q^{10}$,
所以$G^2 = 96^2 × (\frac{1}{2})^{10} = 9$,
所以$G = \pm 3$.
所以$a_5,a_7$的等比中项是±3.

例2 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为$27$，中间两个数之和为$9$，求这四个数.

答案： 例2 解：设前三个数分别为$\frac{a}{q},a,aq(a \neq 0,q \neq 0)$,
则第四个数为$2aq - a$.
由题意得$\begin{cases} \frac{a}{q} · a · aq = 27, \\ a + aq = 9, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 3, \\ q = 2. \end{cases}$
所以这四个数分别为$\frac{3}{2},3,6,9$.