《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 2 求曲线 $ y = e^{-5x} $ 在点 $ (0, 1) $ 处的切线的方程.

答案： 例 2 解:$y' = -5e^{-5x}$,曲线在点$(0,1)$处的切线的斜率$k = y'|_{x = 0} = -5$,故切线的方程为$y - 1 = -5(x - 0)$,即$5x + y - 1 = 0$.

思考 1. 若直线 $ l $ 与直线 $ 5x + ey = 0 $ 平行且与本例中的曲线相切，求直线 $ l $ 的方程.

答案： 思考 1.解:设切点为$(x_0,y_0)$,因为$y' = -5e^{-5x}$,由已知条件得$-5e^{-5x_0} = \frac{5}{e}$,整理得$e^{-5x_0} = e^{-1}$,所以$-5x_0 = -1$,解得$x_0 = \frac{1}{5}$,所以$y_0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
故直线$l$的方程为$y - \frac{1}{e} = \frac{5}{e}(x - \frac{1}{5})$,即$5x + ey - 2 = 0$.

思考 2. 将本例中的曲线方程改为“$ y = e^{ax} $”，若此曲线在点 $ (0, 1) $ 处的切线与直线 $ x + 2y + 1 = 0 $ 垂直，求实数 $ a $ 的值.

答案： 思考 2.解:令$y = f(x)$,则曲线$y = e^{ax}$在点$(0,1)$处的切线的斜率为$f'(0)$,又切线与直线$x + 2y + 1 = 0$垂直,所以$f'(0) = 2$.因为$f(x) = e^{ax}$,所以$f'(x) = (e^{ax})' = e^{ax} · (ax)' = ae^{ax}$,所以$f'(0) = ae^0 = a$,故$a = 2$.

1.(多选)若直线 $ y = \frac{1}{2}x + b $ 是函数 $ f(x) $ 图象的一条切线，则函数的解析式可以是(BCD)
A.$ f(x) = \frac{1}{x} $
B.$ f(x) = x^{4} $
C.$ f(x) = \sin \frac{1}{2}x $
D.$ f(x) = e^{2x} $

答案： 1.BCD 解析:直线$y = \frac{1}{2}x + b$的斜率为$k = \frac{1}{2}$.
$f(x) = \frac{1}{x}$的导数为$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$,切线的斜率均小于$0$,故 A 不正确;
$f(x) = x^4$的导数为$f'(x) = 4x^3$,令$4x^3 = \frac{1}{2}$,解得$x = \frac{1}{2}$,故 B 正确;
$f(x) = \sin \frac{1}{2}x$的导数为$f'(x) = \frac{1}{2}\cos \frac{1}{2}x$,$\frac{1}{2}\cos \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$有解,故 C 正确;
$f(x) = e^{2x}$的导数为$f'(x) = 2e^{2x}$,令$2e^{2x} = \frac{1}{2}$,解得$x = -\ln 2$,故 D 正确.故选 BCD.

2.(2024·新高考全国Ⅰ卷)若曲线 $ y = e^{x} + x $ 在点 $ (0, 1) $ 处的切线也是曲线 $ y = \ln(x + 1) + a $ 的切线，则 $ a = $$\ln 2$.

答案： 2.$\ln 2$ 解析:由$y = e^x + x$,得$y' = e^x + 1$,则$y'|_{x = 0} = e^0 + 1 = 2$,
故曲线$y = e^x + x$在点$(0,1)$处的切线的方程为$y = 2x + 1$.
由$y = \ln(x + 1) + a$,得$y' = \frac{1}{x + 1}$,
设切线$y = 2x + 1$与曲线$y = \ln(x + 1) + a$相切于点$(x_0,\ln(x_0 + 1) + a)$,
则$y'|_{x = x_0} = \frac{1}{x_0 + 1} = 2$,解得$x_0 = -\frac{1}{2}$,则切点为$(-\frac{1}{2},a + \ln \frac{1}{2})$,
切线方程为$y = 2(x + \frac{1}{2}) + a + \ln \frac{1}{2} = 2x + 1 + a - \ln 2$.
因为两切线重合,所以$a - \ln 2 = 0$,解得$a = \ln 2$.