《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 1 求下列函数的导数.
(1) $y = (2x^2 + 3)(3x - 2)$；
(2) $y = 2^x\cos x - 3x\ln x$；
(3) $y = \dfrac{x + 3}{x^2 + 3}$.

答案： 例 1 解：
(1)(方法一)$y'=(2x^2 + 3)'(3x - 2)+(2x^2 + 3)·(3x - 2)'=4x(3x - 2)+(2x^2 + 3)×3=18x^2 - 8x + 9$. (方法二)因为$y=(2x^2 + 3)(3x - 2)=6x^3 - 4x^2 + 9x - 6$，所以$y'=18x^2 - 8x + 9$.
(2)$y'=(2^x\cos x - 3x\ln x)'=(2^x)'\cos x + 2^x(\cos x)'-3[x'\ln x + x(\ln x)']=2^x\ln 2×\cos x - 2^x\sin x - 3(\ln x + x·\frac{1}{x})=2^x\ln 2×\cos x - 2^x\sin x - 3\ln x - 3$.
(3)$y'=\frac{(x + 3)'(x^2 + 3)-(x + 3)(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2}$ $=\frac{1×(x^2 + 3)-(x + 3)×2x}{(x^2 + 3)^2}=\frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 6x}{(x^2 + 3)^2}=\frac{-x^2 - 6x + 3}{(x^2 + 3)^2}$.

求下列函数的导数.
(1) $f(x) = xe^x$；
(2) $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$；
(3) $f(x) = \dfrac{e^x + 1}{e^x - 1}$；
(4) $f(x) = \cos^2\dfrac{x}{2}$.

答案： 【应用迁移】 解：
(1)$f'(x)=x'· e^x + x·(e^x)'=e^x + xe^x=(1 + x)e^x$.
(2)$f'(x)=(\frac{2x}{x^2 + 1})'$ $=\frac{(2x)'(x^2 + 1)-2x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$ $=\frac{2(x^2 + 1)-4x^2}{(x^2 + 1)^2}=\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
(3)(方法一) $f'(x)=\frac{(e^x + 1)'(e^x - 1)-(e^x + 1)(e^x - 1)'}{(e^x - 1)^2}$ $=\frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}$. (方法二)因为$f(x)=\frac{e^x + 1}{e^x - 1}=1+\frac{2}{e^x - 1}$，所以$f'(x)=\frac{2'(e^x - 1)-2(e^x - 1)'}{(e^x - 1)^2}=\frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}$.
(4)$f(x)=\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1 + \cos x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x$，所以$f'(x)=\frac{1}{2}(-\sin x)=-\frac{1}{2}\sin x$.

例 2 已知曲线 $y = x\ln x$ 与直线 $2x - y - 5 = 0$，曲线上是否存在一点 $P$，使曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $2x - y - 5 = 0$ 平行？

答案： 例 2 解：存在.设$P(x_0,y_0)$.因为$y = x\ln x$，所以$y'=\ln x + x·\frac{1}{x}=\ln x + 1$.所以曲线$y = x\ln x$在点$P$处的切线的斜率$k = 1 + \ln x_0$.又$k = 2$，所以$1 + \ln x_0 = 2$，所以$x_0 = e$.所以$y_0 = e\ln e = e$.所以点$P$的坐标是$(e,e)$.