《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. (多选)已知函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的图象如图所示，则下列说法正确的是(BD)
上的图象]
A.$ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的平均变化率大于 $ g(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的平均变化率
B.$ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的平均变化率等于 $ g(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的平均变化率
C.对于任意 $ x_0 \in (a, b) $，函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的瞬时变化率总大于函数 $ g(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的瞬时变化率
D.存在 $ x_0 \in (a, b) $，使得函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的瞬时变化率小于函数 $ g(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的瞬时变化率

答案： 1.BD 解析：$f(x)$在区间$[a, b]$上的平均变化率是$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$，
$g(x)$在区间$[a, b]$上的平均变化率是$\frac{g(b) - g(a)}{b - a}$.
又因为$f(b) = g(b)$，$f(a) = g(a)$，
所以$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}$，所以A错误，B正确.
易知函数$f(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率是函数$f(x)$在$x = x_{0}$处的导数，即曲线$y = f(x)$在$x = x_{0}$处的切线的斜率.
同理，函数$g(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率是函数$g(x)$在$x = x_{0}$处的导数，即曲线$y = g(x)$在该点处的切线的斜率.
由题中图象可知，当$x_{0} \in (a, b)$时，曲线$y = f(x)$在$x = x_{0}$处切线的斜率有可能大于曲线$y = g(x)$在$x = x_{0}$处切线的斜率，也有可能小于曲线$y = g(x)$在$x = x_{0}$处切线的斜率，故C错误，D正确.

2. 如图，已知函数 $ y = f(x) $ 的图象，则该函数在 $ x = 1 $ 处的瞬时变化率大约是（D）

A.0.1
B.1.5
C.4
D.0.5

答案： 2.D 解析：函数在$x = 1$时的瞬时变化率为函数图象在$x = 1$处的切线的斜率，约为$0.5$.故选D.

例1 求抛物线 $ f(x) = x^2 + 3 $ 在点 $ P(1, 4) $ 处的切线方程.
一题多思
思考1. 在本例抛物线上求一点 $ A $，使抛物线在该点处的切线垂直于直线 $ 2x - 6y + 5 = 0 $.
思考2. 将本例的抛物线方程改为“$ y = -x^2 + 3 $”，求此抛物线在 $ x = 1 $ 处的切线的方程.

答案： 例1 解：$\frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$$ = \frac{(1 + \Delta x)^{2} + 3 - (1^{2} + 3)}{\Delta x} = 2 + \Delta x$，所以所求切线的斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$.所以，所求切线方程为$y - 4 = 2(x - 1)$，即$2x - y + 2 = 0$.
思考1.解：设点A的坐标为$(x_{0}, y_{0})$.则抛物线$f(x) = x^{2} + 3$在点A处的切线的斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x_{0} + \Delta x)^{2} + 3] - (x_{0}^{2} + 3)}{\Delta x} = 2x_{0}$，直线$2x - 6y + 5 = 0$的斜率为$\frac{1}{3}$，由题设知$2x_{0} · \frac{1}{3} = 1$，解得$x_{0} = \frac{3}{2}$此时$y_{0} = \frac{21}{4}$，所以点A的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{21}{4})$.
思考2.解：令$y = f(x)$，则抛物线$y = -x^{2} + 3$在$x = 1$处的切线的斜率为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$.而$f(1 + \Delta x) - f(1) = -(1 + \Delta x)^{2} + 3 - 2 = -(\Delta x)^{2} - 2\Delta x$，所以抛物线$y = -x^{2} + 3$在$x = 1$处的切线的斜率为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-(\Delta x)^{2} - 2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-\Delta x - 2) = -2$.又$f(1) = 2$，故抛物线$y = -x^{2} + 3$在$x = 1$处的切线的方程为$y - 2 = -2(x - 1)$，即$2x + y - 4 = 0$.