《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

思考1. 四个数成等比数列，这四个数通常可设为什么形式？

答案： 思考1.提示：可设为$a,aq,aq^2,aq^3(q \neq 0)$.若四个正数成等比数列,可设为$\frac{a}{q^3},\frac{a}{q},aq,aq^3(q \neq 0)$.

思考2. 若将本例（2）中四个数满足的条件改为“前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为$16$，首尾两个数之积为$-128$”，求这四个数.

答案： 思考2.解：设这四个数分别为$\frac{2a}{q} - a,\frac{a}{q},a,aq(a \neq 0,q \neq 0)$,由题意得$\begin{cases} \frac{a^2}{q} = 16, \\ (\frac{2a}{q} - a) · aq = -128, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 8, \\ q = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} a = -8, \\ q = 4 \end{cases}$($q = -2$舍去).
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是$16$，第二个数与第三个数的和是$12$，求这四个数.

答案： 解：(方法一)设这四个数依次为$a - d,a,a + d$,
$(a + d)^2 - \frac{a}{a}(a \neq 0,a + d \neq 0)$,由条件得$\begin{cases} a - d + \frac{(a + d)^2}{a} = 16, \\ a + a + d = 12, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 4, \\ d = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 9, \\ d = -6. \end{cases}$
当$a = 4,d = 4$时,所求的四个数分别为0,4,8,16;
当$a = 9,d = -6$时,所求的四个数分别为15,9,3,1.
故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.
(方法二)设这四个数依次为$\frac{2a}{q} - a,\frac{a}{q},a,aq(a \neq 0,q \neq 0)$,
由条件得$\begin{cases} \frac{2a}{q} - a + aq = 16, \\ \frac{a}{q} + a = 12, \end{cases}$
由条件得$\begin{cases} \frac{2a}{q} - a + aq = 16, \\ \frac{a}{q} + a = 12, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 8, \\ q = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 3, \\ q = \frac{1}{3}. \end{cases}$
当$a = 8,q = 2$时,所求的四个数分别为0,4,8,16;
当$a = 3,q = \frac{1}{3}$时,所求的四个数分别为15,9,3,1.
故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.