《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质质量是原来的 $ 84\% $，这种物质的半衰期（放射性物质质量衰减到原来的一半所需要的时间称为该物质的半衰期）为多长？（参考数据：$ \lg 0.5 \approx -0.3010 $，$ \lg 0.84 \approx -0.0757 $，精确到 1 年）

答案： 设这种物质最初的质量是1，经过$n$年，剩余质量是$a_n$.由条件可得，数列$\{a_n\}$是一个等比数列，其中$a_1=0.84,q=0.84$.设$a_n=0.5$，则$0.84^n=0.5$，两边取常用对数，得$n=\frac{\lg 0.5}{\lg 0.84} \approx 4$.故这种物质的半衰期大约为4年.

例3 已知 $ \{ a_n \} $ 为等差数列，$ a_1 = 1 $ 且公差 $ d \neq 0 $，$ a_4 $ 是 $ a_2 $ 和 $ a_8 $ 的等比中项.
(1) 若数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ m $ 项和 $ S_m = 66 $，求 $ m $ 的值；
(2) 若 $ a_1, a_2, a_{k_1}, a_{k_2}, ·s, a_{k_n} $ 成等比数列，求数列 $ \{ k_n \} $ 的通项公式.

答案： 例3 解:
(1)因为$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_2=a_1+d,a_4=a_1+3d,a_8=a_1+7d$.因为$a_4$是$a_2$和$a_8$的等比中项，所以$a_4^2=a_2 · a_8$，所以$(a_1+3d)^2=(a_1+d) · (a_1+7d)$.又$d \neq 0$，化简得$d=a_1=1$，所以$a_n=n$.由$S_m=\frac{m(m+1)}{2}=66$，解得$m=11$.
(2)因为$a_1,a_2,a_{k_1},a_{k_2},·s,a_{k_n}$成等比数列，所以该数列的公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$，所以$a_{k_n}=1 × 2^{(n+2)-1}=2^{n+1}$.又因为$\{a_n\}$为等差数列，所以$a_{k_n}=2^{n+1}=k_n$，所以$k_n=2^{n+1}$.