《2025年核心素养学练评七年级数学上册人教版》

21. （8 分）已知$C$，$D$，$E$分别为线段$AB$上的点（点$D$在点$E$左边），且满足$DE = \dfrac{1}{2}AB$。
（1）如图，若$BC = 2AC$，$AB = 9$，$D$为$AC$的中点时，求$BE$的长；
（2）若$C$为$BE$的中点，$DC = 3AD$，试探究线段$DE$与$CB$之间的数量关系。

答案：
解:
(1)如图
(1),设AC=x.因为BC=2AC,AB=9,DE=
$\frac{1}{2}$AB,所以BC=2AC=2x,DE=$\frac{9}{2}$,所以x+2x=9,所以x=
3,所以AC=3,BC=6.因为D为AC中点，所以AD=$\frac{1}{2}$AC=
$\frac{3}{2}$,所以BE=AB−AD−DE=9−$\frac{3}{2}$−$\frac{9}{2}$=3,所以BE的长为3.
　　　　　　　　　ADC图
(1)
(2)如图
(2),设DE=a,BC=b.因为C为BE的中点,所以EC=BC=b,所以DC=DE+EC=a+b.因为DC=3AD,所以
AD=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}$(a+b),所以AB=AD+DC+BC=$\frac{1}{3}$(a+b)
+a+b+b=$\frac{4}{3}$a+$\frac{7}{3}$b.因为DE=$\frac{1}{2}$AB,所以AB=2DE,所以$\frac{4}{3}$a+$\frac{7}{3}$b=2a,所以7b=2a,所以7BC=2DE,所以线段DE与
CB之间的数量关系为7BC=2DE.
　　　　　　　　　　

22. （10 分）已知$O$是直线$AB$上一点，$∠COD$是直角，$OE$平分$∠BOC$。
（1）如图（1），
①若$∠AOC = 30^{\circ}$，则$∠DOE$的度数为15°；
②若$∠AOC = \alpha$，求$∠DOE$的度数。
（2）如图（2）的位置关系，探究$∠AOC$与$∠DOE$之间的数量关系，直接写出你的结论。

答案： 解:
(1)①因为∠AOC=30°,∠AOC+∠BOC=180°,所以∠BOC=180°一∠AOC=150°.因为OE平分∠BOC,所以
∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°.因为∠COD是直角,所以∠COD=
90°=∠DOE+∠COE,所以∠DOE=90°−∠COE=90°−75°=15°.故答案为15°.
②因为∠AOC=α,∠AOC+∠BOC=180°,所以∠BOC=180°一∠AOC=180°一α.因为OE平分∠BOC,所以∠COE=
$\frac{1}{2}$∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$α.
因为∠COD是直角，所以∠COD=90°=∠DOE+∠COE,所以∠DOE=90°−∠COE=90°−(90°−$\frac{1}{2}$α)=$\frac{1}{2}$α.
(2)∠AOC=2∠DOE.理由如下:
因为∠COD是直角,OE平分∠BOC,
所以∠COD=∠COE+∠DOE=90°,∠COE=∠BOE,
所以2∠COE+2∠DOE=180°,
因为∠AOC+∠COE+∠BOE=2∠COE+∠AOC=180°,所以∠AOC=2∠DOE.