《2025年核心素养学练评七年级数学上册人教版》

18. （6 分）已知$∠AOB = 50^{\circ}$，$∠AOC = \dfrac{1}{2}∠AOB$，反向延长$OC$至$D$。请用半圆仪（量角器）和直尺画出图形，并求$∠BOD$的度数。

答案：
解:画出图形,分两种情况,如图1、图2.
　　　　　　　　　 　
因为∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB,
所以如图1,∠BOC=∠AOB−∠AOC=∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOB=
$\frac{1}{2}$∠AOB=25°.
所以∠BOD=180°−∠BOC=180°−25°=155°.
如图2,∠BOC=∠AOB+∠AOC=$\frac{3}{2}$∠AOB=75°,
所以∠BOD=180°−∠BOC=180°−75°=105°.
综上所述，∠BOD的度数是155°或105°.

19. （8 分）如图，$O$为直线$AB$上一点，$∠AOC = 70^{\circ}$，$OD$是$∠AOC$的平分线，$∠DOE = 90^{\circ}$。
（1）图中小于平角的角的个数是9；
（2）求$∠BOD$的度数；
（3）猜想$OE$是否平分$∠BOC$？并说明理由。

答案： 解:
(1)小于平角的角有∠AOD,∠DOC,∠COE,
∠EOB,∠AOC,∠AOE,∠DOE,∠DOB,∠COB,
共9个.故答案为9.
(2)因为∠AOC=70°,OD是∠AOC的平分线，
所以∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=35°.
所以∠BOD=180°−∠AOD=180°−35°=145°.
(3)OE平分∠BOC.理由如下:
因为∠DOE=90°,
所以∠BOE=∠BOD−∠DOE=145°−90°=55°,
∠COE=∠DOE−∠COD=90°−35°=55°,
所以∠BOE=∠COE,所以OE平分∠BOC.

20. （8 分）给出如下定义：如果$∠AOC + ∠BOC = 90^{\circ}$，且$∠AOC = k∠BOC$（$k$为正整数），那么称$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”。
（1）下列三个条件中，能判定$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”的是________（填写序号）。
①$∠BOC = 15^{\circ}$；②$∠AOC = 70^{\circ}$；③$OC$是$∠AOB$的平分线。
（2）如图$a$，当$∠BOC = 30^{\circ}$时，在图中画出$∠BOC$的一个“倍锐角”$∠AOC$。
（3）如图$b$，当$∠BOC = 60^{\circ}$时，射线$OB$绕点$O$旋转，每次旋转$10^{\circ}$，则它的“倍锐角”$∠AOC =$________。
（4）当$∠BOC = m^{\circ}$，且存在它的“倍锐角”$∠AOC$时，求$∠AOB$的度数。

答案：
解:
(1)①③.
(2)若∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=90°,则∠AOC=60°=
2∠BOC,有以下两种情况(任选其一即可).
　　　　　　　
(3)80°或60°.
解析:因为∠BOC=60°,且射线OB绕点O每次旋转10°,
所以∠BOC度数的取值有0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,
80°,90°这几种，对每个可能的值进行分析可知，只有两种情况下，∠AOC是∠BOC的“倍锐角”:
①当∠BOC=10°时,∠AOC=80°=8∠BOC;
②当∠BOC=30°时,∠AOC=60°=2∠BOC.
所以∠AOC=80°或60°.
(4)若∠BOC存在它的“倍锐角”∠AOC,则有两种情况:
①如图1,当OA在OC的上方时,∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°;
　　　　　　　　　 　
②如图2,当OA在OC的下方时,∠AOB=∠AOC一∠BOC=
90°−∠BOC−∠BOC=(90−2m)°.
所以∠AOB=90°或(90−2m)°.