《2025年核心素养学练评七年级数学上册人教版》

22. (10 分)如图,OB 是 $ \angle AOC $ 内部的一条射线,OM 是 $ \angle AOB $ 内部的一条射线,ON 是 $ \angle BOC $ 内部的一条射线.
(1)如图(1),OM,ON 分别是 $ \angle AOB $,$ \angle BOC $ 的平分线,已知 $ \angle AOB = 30^{\circ} $,$ \angle MON = 70^{\circ} $,求 $ \angle BOC $ 的度数；
(2)如图(2),若 $ \angle AOC = 140^{\circ} $,$ \angle AOM = \angle NOC = \frac{1}{4}\angle AOB $,且 $ \angle BOM:\angle BON = 3:2 $,求 $ \angle MON $ 的度数.

答案： 解:
(1)因为OM,ON分别是∠AOB,∠BOC的平分线,所以∠AOM=∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°,∠BON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC.因为∠MON=70°=∠BON+∠BOM,所以∠BON=70°-15°=55°,所以∠BOC=2∠BON=110°.
(2)因为∠AOM=∠NOC=$\frac{1}{4}$∠AOB,所以可设∠AOM=∠NOC=a,则∠AOB=4a,所以∠BOM=∠AOB-∠AOM=4a-a=3a.又因为∠BOM∶∠BON=3∶2,所以∠BON=2a.因为∠AOC=140°=∠AOB+∠BON+∠NOC,所以4a+2a+a=140°,所以a=20°,所以∠MON=∠BOM+∠BON=3a+2a=5a=100°.